|
|
действующих между частицами, оказывается вторичным эффектом, возникающим в результате обмена квантами поля, переносящего взаимодействие.
2, Свободные поля и корпускулярно-волновой дуализм
└ └ , В соответствии с кратко очерченной выше общей физ.
картиной в систематич. изложении КТП можно от-иравляться и от полевых, и от корпускулярных пред-ставленни.
В полевом подходе надо сначала построить теорию соответствующего классич. поля, затем подвергнуть его квантованию по образцу квантования эл.-магн. поля В. Гейзенбсргом (W Heisenberg) и В. Паули (W. Раи-∙li)] и, наконец, разработать для получающегося кваы-тованного поля корпускулярную интерпретацию. Ос-новиым исходным понятием здесь будет поле иа(х] (индекс а нумерует компоненты поля), определ╦нное в каждой пространственно-временной точке x~-=(ct, х) и осуществляющее к.-л. достаточно простое представле-ние группы Лоренца. Дальнейшая теория строится проще всего с помощью Лагранжева формализма', выби-рагот локальный [т. е. зависящий лишь от компонент поля иа(х] и их первых производных д^иа (x}≈-duajdx^
^иа (х] (и. = 0, 1, 2, 3) в одной точке х] квадратичный
пуанкаре-ипвариаптный (см. Пуанкаре группа} лагран-жиан L(x)^L(ua, dtlu*) и из наименьшего действия
С принципа 65=6\ d*xL(x)~ 0 получают уравнения дви-
жевия. Для квадратичного лагранжиана они ли-нейпы -свободные ноля удовлетворяют принципу супеопочинии
В силу Ж«р теоремы из инвариантности действия S относительно каждой однопараметрич. группы еле-дует сохранение (независимость от времени) одной, явно указываемой теоремой, интегральной ф-щш от и0 и д^иР. Поскольку сама группа Пуанкаре 10-пара-
мегрична, в КТП обяаательно сохраняются 10 величин, к-рые иногда называют фундам. дииамич. величинами: из инвариантности относительно четыр╦х сдвигов в нетыр╦хмерном пространстве-времени следует сохрани-
ние четыр╦х компонент вектора энергии-имнульса Рп,
^ а из инвариантности относительно шести поворотов в
4-пространстве следует сохранение шести компонеш момента ≈ трех компонент трехмерного момента им-пульса M,-=V^//*AfA и тр╦х т. н. бустов ЛГ^с-Ш»; <i, ,, fc=l, 2, 3, 6,7, - единичный полностью антисим-метричныи тензор; по дважды встречающимся индексам подразумевается суммирование). С матем. точки аре-ния десять фундам. величин - Р└, Af,-, ЛГ,- - суть
генераторы группы Пуанкаре.
Если действие оста╦тся инвариантным и при вьшол-нении над рассматриваемым полем нек-рых других, не входящих в группу Пуанкаре непрерывных цреобразо-ваний симметрии ≈ преобразований внутр. симмет-рий,≈ из теоремы Н╦тер следует тогда существование новых сохраняющихся динамич. величин. Так, часто принимают, что ф-ции поля комплексны, налагают на лагранжиан условие эрмитовости (см. Эрмитов опера-тор) и требуют инвариантности действия относительно глобального калибровочного преобразования (фаза а не зависит от х) иа (x\^-eiG-ua (х), и*а (x)-+e-i<x-it*a (х). Тог-да оказывается (как следствие теоремы Н╦тер), что со-храняется заряд
заряд Q ≈ не обязательно электрич. наряд, это может быть любая, не связанная струйной Пуанкаре еохра-няющаясн характеристика поля, напр, лептонное число, странность, барионное число и т. п.
Каноническое квантование, согласно общим прпнци-нам квантовой механики, состоит в том, что обобщ╦нные координаты (т.е. (бесконечный) набор значении всех
компонент поля и, . . .,
во всех точках х прострин-
стйа в Нек-рый момент времени t (при более ухищр╦н-ном изложении ≈ во всех точках нек-рой иространст-вешюподобной гиперповерхности о] и обобщ╦нные им-
6f t\=*dL/dub(x t\ обтяпчяют ОПРПЯТОПНМН "У^ьсы л (ао, t}-~OLjOu (x, t) объявляют операторами,
Действующими на амплитуду состояния (вектор состоя-ния) системы, и налагают на них перестановочные соот-
нош я" ,
и* (*S *) w (ih *) ± ль (l/t t ) «а (ж, t) = Гй-6л& б(ет ≈ /у), (1)
Прич╦м знаки «+» или «≈ » соответствуют квантованию по ферми ≈ Дираку или Бозе ≈ Эйнштейну (см, ни-же). Здесь 6flb _ Кронекера символ, б (ж≈ //) ≈ дельта-функция Дирака.
Из_за выделенной роли времени и неизбежного обра-щения к конкретной системе отсч╦та перестановочные соотношения (1) нарушают явную симметрию иростран-ства и времени, и сохранение релятивистской инпари-антиости требует спец. доказательства. Кроме того, со-отношения (1) ничего не говорят о коммутац, свойствах полей во времениподобных парах точек пространства-времени ≈ значения полей в таких точках причинно ≥≥с≥"> * « перестановки можно определить, толь-*° Решая ^КПЯ Дви*«ния совместно с (1). Для с в о-б ° д н ы х п ° л е "' длн К-РЫХ УР^""я движения ли-
Q ≈ i Г d4x V ( и
J *-* \ а
*а
dL
u
a
dL
Поэтому комплексные ф-ции иа можно использовать для описания заряж. полей. Той же цели можно до-стичь, расширяя область значений, пробегаемых индек-сами а, так, .чтобы они указывали и направление в иаотопич. пространстве, и требуя от действия инвари-антности относительно вращений в н╦м. Заметим, что
-иР ри н и притом в релятивистски снимет
Ричнои форме ^ перестановочные соотношения нолей в двух произвольных точках * и у:
[ий (ж), иъ (у)]± *= иа (х} иь (у) ± иь (у] иа (х) =
= _ раъ (QJQX] Dm(x ≈ у], (2)
' Здесь Dm ≈ перестановочная^ функция Паули ≈ Иор-
Дана, удовлетворяющая Клейна ≈ 1 ордона уравнению (G-"*2)^^ (л:)=0, Рв° ≈ полином, обеспечивающий удовлетворение правой частью (2) ур-ний движения » £ р £. Д,Амябера оператор, т^ масса
поля (здесь и далее используется система единиц _Г≥1-/,
в ко 'пускулярном └одходе к релятивистскому кван-TOBOMyPJncLH» свободных частиц векторы состояния частицы ЛЖНЬ1 образовывать неприводимое представ-« Пуанкаре. Последнее фиксируется задамем ан^оний 0"nepaTSpOB Казимира (операторов, ком-мутирующих со всеми десятью генераторами группы р д/. и jy,^ к-рых у группы Пуанкаре два. Первый ≈
Ц) ' ,. оператор квадрата массы т*=Р Ри, При т^О вторым
оператором Казимира служит квадрат обычного (трех-мерного) спина, а при нулевой массе ≈ оператор спиральности (проекции спина на направление движения). Спектр т2 непрерывен ≈ квадрат массы может иметь любые псотрицат. значения, ma>G; спектр спина дпс-крстен, он может иметь целые или полуцелые значения: 0> /a* ^ ∙ * ∙ Кроме того, надо задать ещ╦ поведение вектора состояния при отражении неч╦тного числа координатных осей. Если никаких других характеристик задавать не требуется, говорят, что частица не имеет внутр. степеней свободы и наз. истинно нейтральной частицей. В противном случае частица обладает заря-дамя того или иного сорта.
Чтобы фиксировать состояние частицы внутри пред-ставления, в квантовой механике надо задать значения полного набора коммутирующих операторов. Выбор ta-кого набора неоднозначен; для свободной частицы удоб-но взять три составляющих е╦ импульса р тл проекцию s спина ^ на к.-л. направление. Т, о., состояние одной свободной истинно нейтральной частицы полностью
-<
flu
X
