О
I
= cos(?a), получим X=exp(±z?a), где величина q ≈ квазиимнульс системы. Энергия частицы (как следует из привед╦нного равенства, если его разрешить относительно £} должна быть ч╦тной ф-цией q. Тот факт, что собств. значение оператора сдвига равно ехр(цга), позволяет заключить, что волнорая ф-ция частицы в периодич. поле имеет вид: i|j=exp(i'g;r)q>{:r), где ср(-г) ≈ периодич, ф-цйя, §(х-\-а) ≈ ф(:г) (см. Блоха теорема). Эти результаты лежат в основе совр. теории тв╦рдого тела.
Движение в центральном поле
Задача о квантовомеханич. движении двух частиц с массами т: и тг [энергия взаимодействия между к-рыми V(\rz≈?1\) зависит только от относит, расстояния между ними] сводится к рассмотрению свободного движения центра масс этих частиц и относит, движения в центр, поле V(\Г\) частицы с привед╦нной массой и.≈ = m1TO£/(m1-f-ma). Т. к. центр, поле обладает симметрией вращения, при движении в н╦м сохраняется угл. момент частицы и в качестве полного набора измеряемых величин могут быть выбраны квадрат момента Z2, проекция т момента на выделенную ось (обычно ось z) и энергия £ частицы. Соответственно волновая ф-ция частицы в сферич, системе координат (г, v>, ф) может быть записана в виде произведения радиальной ф-ции (к-рую удобно представлять в виде и (г)/г) и угл. ф-ции, в качестве к-рой выбирается сферическая функция Yimffi* ф)' являющаяся собств. ф-циеп квадрата момента и его проекции на ось z>
раст╦т. Для F(r), растущих при г -> 0 медленнее, чем const/r2, центробежная энергия обусловливает универс. зависимость радиальной ф-ции при г ->∙ 0;
u
ff '
j
(r)
ct
t 1
+ 1
(77)
Лй ,«^ л
Оба ЧЛС1'а в <77> ПР" г^° являются линейно незави-симыми решениями ур-ння Шредингера. Условие ко-вечности нормы требует зануления сингулярного реше-ния, т. е. выбора са≈ 0. Т. о., при г -^ О
. ^ t ,7ft,
Если энергия системы больше, чем значение F(r) при г -» со (£>F╧), то решение ур-ния Щр╦дингера на больших расстояниях должно иметь вид:
..г
г
ugt i ~ сяе ~\-с*е
ft2---2|i (8 ≈
При этом (как и в одномерном случае отражении от потенц. стенки) поток в расходящейся от центра сферич.
волне (<?7*г) должен быть равен потоку в сходящийся
водне (е-**г), т. е. ks| = lc4|. Исходя из этого, решение ири г _> ^ записывают в виде:
..
** J3 J
6. «
∙ f L.-
Д 1 Ц f flf
л
"≥ U /
, Q
\ I "J f
'
u
└ s _ тр(г, tf, ср) ≈
ff, i
[fti (tr, ф).
(/&)
При этом ф-ция м, ,(г) удовлетворит «одномерному» ^ Vй- 8, i\ i ∙>* ^ ^ f J
ур-ншо Шредингера по переменной г:
где 0( ≈ т. н. ф а з а р а с с е я н и л, равная нулю для свободного движения (она используется для нахождения амплитуды рассеяния). Решение (79) не наклады-вает к.-л. ограничений на энергию системы. Поэтому ПрИ g-^y^ энергетич. спектр непрерывный, а решения опвсьшагот несвязанные состояния инфинитного движе-ния_ ЕСЛИ в ^эфл, существует потенц. яма, такая, что
г fe»f(m_^)"i
L Г 2^ Jtt- "
Vmitl<Vee, тодля энергий t в интервале решение ур-ния Шредингера при г ->
имеет вид:
с эфф. потенц. энергией Состояния с / ≈ О, 1, 2, 3,., наз. соответственно s-, />-, d~, /-, ... (и далее по алфавиту) состояниями. Второй член в 1^эфф наз. центробежной энергией (аналогичная добавка к У(|/*|) при рассмотрении радиального дни-жения возникает в классич. механике из-за трансвер-сальной части кинетич. энергии частицы). Угл, зависи-мость (75) универсальна для любых центр, полей, что от-ражает универсальность выполнения закона сохранения момента в таких полях. В классич. механике этот закон приводит к тому, что движение в любом центр, поле происходит в фиксир. плоскости, перпендикулярной моменту и проходящей через центр. Поскольку при m ≈ I y^~(sm 0)*, выражение (75) в случае очень боль-ших I отлично от нуля лишь вблизи плоскости ft≈ л/2, т. е. в пределе больших I Уц описывает классич. плос-кое движение. Напротив, квантовое движение при ма-лых I совершенно непохоже на классическое.
В ст, Лпголнарис. 2 приведены распределения элек-тронной плотности вокруг ядра в атоме водорода для состояний с низшими значениями / и т. Видно, что за-дание момента (т. е. / и т) полностью определяет угл. распределение, к-роо сильно отличается от плоского, Особенно отличается от классического движение в 5-волне, имеющее сферически симметричное расирсделе-ние. В классич. физике устойчивое движение частицы с нулевым моментом в поле притяжения было бы вооб-ще невозможно: частица падала бы на притягивающий центр. В К. м. для полей притяжения, растущих (по модулю) при г -*- 0 медленнее, чем const/r2, падения па центр в S-волне не происходит. Этот факт естественно следует из соотношения неопредел╦нностей. Цонтро-бежная энергия при 1^0 представляет собой потенц. барьер, «закрывающий» область малых г. Существуют ___ два решения ур-ния Шредингера: одно из них затухает 2оо под центробежньш барьером при. г ->- 0, а другое ≈
.. (80)
Коэф. с3, с4 при двух линейно независимых решениях 'в (80) должны линейно вглражатьсн через clt 'cz яз (11} по ф-лам (70). Если для произвольной энергии из рассматриваемого интервала потребовать огранпчея-ности решения в нуле, т. е. положить с2~^' то коэф.'с4 при растущем на бесконечности решении, равный с4 = =ctai(6")ci, будет, вообще говоря, отличен от нуля. Это означает, что при произвольной энергии t <FM может не существовать физически приемлемого реше-ния. Возможные энергии физ. состояний определяются ур-нием а21(£)=0 и образуют дискретный спектр. Они отвечают связанным состояниям. Т. о., условия огра-ниченности решения на границах области изменения радиальной переменной (г≈ 0 н г≈ со) играют роль крае-вых условий, приводящих (как и в одномерном случае) к дискретному спектру энергий. Дискретные уровни в радиальном ур-иии Шр╦дпнгера (76) нумеруются ра-диальным квантовым числом пг, начиная с осионного (гаг≈ 0). Поскольку Уэфф зависит от I, энергия уровня определяется двумя квантовыми*шслами пг и I. Число т наз. магнитным квантовым числам и при данном / может принимать (2И-1) значений: О└ ±1, ±2, . . м ±1; т не входит в ур-ние (70), и анергия от него не зависит (т. к. т зависит от выбора оси z, a иоле сферически симметрично). Поэтому уровень с квантовым числом I имеет (2/+1)-кратное вырождение. Энергия уровня начинает зависеть от т лишь тогда, когда сферич. симметрия нарушается, напр, при пом<ь щении системы' в магн. поле (Зеемана эффект]. Для нен-рых видов У (г) [напр., кулоновской: V= ≈ Zt^/r, или изотропного тр╦хмерного осциллятора:' V≈-= (]до)2/2)(-с^ + У2 + г2)] существует дополнит/ (т. н. случайно е) вырождение уровней энергии,' обу-словленное скрытой симметрией этих V(r). Так, энергия водородоподобных атомов зависит от величи-
