|
|
пустимые решения получаются поэтому только для таких выделенных, дискретных, значений энергии £,-, для к-рых а22(#;) = 0. Отп значения Si являются, т. о., корнями ур-ния С£22(£) = 0. Получающиеся уровни энергии невырожденны и отвечают (как и в классич. механике) финитному движению частицы в потенц. яме, т. е. связанным состояниям.
В отличие от классич. механики, где финитное движение в потенц. яме происходит между двумя точками остановки при любом значении энергии из области (III), кваитопомеха-нич. движение возможно лишь при определ. дискретных значениях энер-=1 гии. Возникновение дискретных уровней энергии («квантование энергии») ≈ чисто волновое явление. Математически оно происходит благодаря *тому, что условии ограниченности решения (73), (74) стационарного ур-ния Шр╦дингера при х -+- ± со играют роль краевых условий, удовлетворить к-рым можно лишь при дискретных энергиях (аналогично, напр., тому, как определ. граничные условия колебаний струны приводят к дискретному спектру е╦ частот). Буквальная аналогия существует для двпжеиия частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и колебаниями струны с закрепл╦нными концами (рис. 7). В обоих случаях граничные условия приводят к тому, что на длине L струны (или ширине потенц. ямы) должно укладываться целое число п полуволн: l/zXn=L. Отсюда получается спектр энергии:
|'ис. 7
2я
п
,
2т
Дискретный спектр может быть проиллюстрирован также на примере квантового осциллятора ≈ частицы» движущейся в поле с V(x)=litfTwPx*. Задача о квантовом осцилляторе является одной из важнейших и точно решаемых аналитически задач К. м. Важность е╦ обусловлена тем, что для произвольного потенц. поля в положении равновесия хй должен быть минимум потенц. энергии: (dV/dx)x=Xn=Q, и V(х) вблизи от положения равновесия приближ╦нно представяма в виде осцилля-торной: V(x)^V(xQ)+4z(d*V/dxZ)x=X(lx*+, . ., где х-
отклонение от положения
равновесия, колебаний н ого
а частота эквивалент-осциллятора 0> =
На рис. 8 по оси абсцисс отложено расстояние час-тицы от положения равновесия. Кривая (парабола) Изображает потенц. энергию частицы. В этом случае частица с любой энергией (как и в случае ямы с бесконечными стенками) «заперта» внутри ямы, поэтому спектр е╦ энергии дискретен. Горизонт, прямые изображают уровни энергии частицы. Энергия низшего уровня £0=1/a«'f*> ≈ наименьшее значение энергии, совместимое с соотношением неопредел╦нностей [положение частицы на дне ямы (£=0) означало бы точное равновесие, при к-ром я=0 и р≈ 0, что невозможно, согласно принципу неопредел╦нности]. Следующие, более высокие уровни энергии осциллятора расположены на равных расстояниях с интервалом Uto; энергия /г-го уровня:
квантовому числу п уровня энергии. Этот результат справедлив и для др. одномерных потенц, полей (т. н. осцилляционная теорема). В пысоковоз-Сужд╦нных состояниях с большими п длина де-бройлев-CKoii волны частицы становится малой по сравнению с характерными размерами области движения. Движение приобретает классич. характер: волновой пакет, построенный из состояний с близкими (и большими) п будет двигаться с большой точностью по классич. законам,
Дискретный характер уровней энергии, отвечающих связанным состояниям, позволяет понять, почему в оп-редел. условиях заведомо сложные, составные системы (напр., атомы) ведут себя как элементарные частицы. Причина этого в том, что осн. состояние связанной системы отделено от первого возбужд╦нного состояния энергетич. интервалом, наз. энергетической щ е л ь ю. Такая ситуация характерна для атомов, молекул, ядер и др. квантовых систем. Благодаря энергс-тич. щелн внутр. структура системы не проявляется до тех пор, пока обмен энергией при е╦ взаимодействиях с др. системами не превысит значения, равного ширине щели. Поэтому при достаточно малом обмене энергией сложная система (напр., ядро или атом) вед╦т себя как бесструктурная частица (матер, точка). Так, при энергиях теплового движения, меньших энергии возбуждения атома, атомные электроны не могут участвовать в обмене энергией и не дают вклада в тепло╦мкость. Справедливо к обратное заключение: наличие ь системе возбужд╦нных состояний (как это, напр., имеет место для адронов) является свидетельством в пользу е╦ составной структуры.
Движение в периодическом поле
Движение в периодич. поле V(x-ra) ≈ V(x) (где а ≈ период) может служить моделью движения электрона в кристалле и иллюстрирует возникновение разреш╦нных и запрещ╦нных зон (полос) энергии. Пусть q>i(:r) и <pj(;r) ≈ два к.-л. линейно независимых решений ур-иия Шр╦дингера, отвечающих определ. энергии £. Поскольку оператор сдвига на период поля коммутирует с гамильтонианом, ф-ции ф1(аг+а) и ф2(^+а) также будут решениями ур-ния Шр╦дингера, принадлежащими тому же значению энергии. Поэтому они должны выражаться линейно через
ф! (* + <0 =
фа (х + а) =
Матричные элементы р/^ в этом преобразовании зависят от вида V (х) и выбранного значения энергии, а определитель матрицы p,-ft Д=рцр22≈ PiaPai должен быть равен 1 (в силу условия постоянства определителя Врон-
ского Ф1Ф2 ≈ Ф1фг=сопз1, к-рому удовлетворяют два линейно независимых решения). Из решений tpi(-r) и можно составить линейную комбинацию 'Ф=с1ф1 к-рал, будучи решением ур-ния Шр╦дингера с энергией £, одновременно является собста. состоянием one-
>ч
ратора сдвига Ity(x)=ty(x-\-<L)≈KTfy(x), Собств, значение Я при этом определяется ур-нием
PII ≈ X
и
(X}
(х
И,
12
≈A
Над каждой горизонт, прямой приведена волновая ф-ция данного состояния. За пределами ямы (в неклас-сич. области) волновая ф-ция быстро затухает. В классич. области движения волновая ф-ция осциллирует. Характерно, что число узлов волновой ф-ции равно
Для физически приемлемого рещения должно выполняться условие [Я|^1 (т. к. при |Х|=?И неогранич. сдвиг решения в одну или др. сторону должен был бы приводить к бесконечно большому его значению). Для этого необходимо выполнение неравенства:
H Ра*
к-рое и определяет допустимые при движении в периодич. поле не дискретные уровни, а полосы энергии. [Ф-ция Pii(£)+P2a(£) не зависит от конкретного вы-бора решений ф!(х) и ф8(т),] Полагая
О
X
2
