О
X
точных линено независимых решени )- Общее решение ∙^(x}^c1'^l(x)-\-c2^z(x) при ≈ от имеет аеимптотич. вид
и
я
i|){x) ~CI(?""* + CV?~IAIJ[: (68)
и полностью определяется заданием коэф. сг, с2. С др. стороны, при х -* + оо существуют приближ╦нные решения ур-ния (67) e±ik*x, k\=2m(8 ≈ У2)/Й2>0, к-рые являются асимптотиками двух др. точных линейно независимых решенийty5(x) иф4(:г). Точное решение 1|э(а:) = ~с^э(х}-\-с^11(х) при д:-*-+оо пмеет аеимптотич. вид
i|) {a:) ~ с3е'ЛгХ + с4<?- '*»*. (69)
Поскольку 1^3(^)5 ^i(^) должны линейно выражаться через tyi(x), tyz(x) (и наоборот), коэф, с3» С4 являются линейными ф-циями сь с2;
+ а12Сз (70)
Матрпчные элементы а,-^(£) являются нек-рыми функционалами потенц. энергии и зависят от энергии. Из осциллирующих при х -*- ±аз решений (68), (69) можно составить волновые пакеты, имеющие конечную норму. Поэтому никаких ограничений на значения энергии в области (1} не возникает, спектр энергий непрерывный, а движение инфинитно (неограниченно) в обе стороны. Каждое значение энергий при этом двукратно вырождено в соответствии с существованием в области (1) двух физически разл. движений. Первое из них отвечает движению частицы слева направо и выделяется граничным условием с4≈0 (т. е. требованием, чтобы при х -*∙ -ь +оо существовала только прошедшая слева волна), второе (выделяемое условием сх≈0) ≈ движению справа налево. Отношение плотностей вероятности прошедшего и падающего потоков наз, коэф. прохождения (£), а отношение отраж╦нного к падающему ≈ коэф. отражения (R). Для первого из упомянутых движений
согласии с принципом соответствия). Существенно, что показатель экспоненты (72) зависит как квадратный корень от высоты барьера и линейно ≈ от его длины. Поэтому вероятность туннельного перехода оказывается большей для сравнительно высоких и узких барьеров (часто встречающихся в ядерной физике}, чем для низких и длинных (встречающихся, напр., в хим. реакциях). Характерна также зависимость экспоненты в (72) от массы частиц, обусловливающих заметную вероятность тунпелнрования для наиб, л╦гких частиц ≈ электронов.
Наряду с туннельным переходом чисто квантовым эффектом является над барьерное отражение, происходящее при энергиях, превосходящих высоту барьера (и даже в отсутствие к.-л. барьера, напр, при прохождении частицы над потенц. ямой), о К л ас* сич.» частица в этом случае свободно проходит над барьером и лишь ее кинетич, энергия изменяется от величины (#-≈Vj) до величины (£ ≈ У2) [при прохождении слева направо в поле с V(x), изображ╦нной на рис. 61. Волновым аналогом надбарьерного отражения частиц является частичное отражение световой волны от границы раздела двух прозрачных сред. Для гладких У (х) коэф. надбарьериого отражения экспоненциально мал в случаях, когда энергия частиц значительно превышает высоту барьера.
В области энергий (II) аеимптотич. решение при л:-*- ≈оо имеет вид (68) {т- к. #>Fi), а решением при х -*∙ + OQ (т. к, £<F2) имеет вид:
t*3e
ft*
(73)
(71)
Из сохранения плотности потока следует, что Л+D ≈ l. Используя обратимость ур-ния Шр╦дингера во времени [к-рая для стационарного случая сводится к тому, что наряду с любым решением -ф (х) решением (65) будет также комплексно-сопряж╦нная ф-ция ip*{z)L можно получить соотношение для матричных элементов в (70):
«ц≈ои, СС|2≈О21- Т. о,, козф, отражения (и соответственно прохождения) для частиц, движущихся слева направо {-ft^|c2|2/kil2=|≈ ct2i/cc22l2) и справо налево (Д'-[с3|2/|с4|2=1а18/сс22|2), одинаковы: Л' = Я, D'=-D. В отличие от классич. механики, коэф. прохождения для квантовомеханич. движения не равен нулю даже в случае, когда энергия (£г) меньше высоты барьера УБ- 'В этой ситуации при классич. движении слева направо частица должна была бы остановиться в точке а и затем, отразившись от барьера, двигаться налево (аналогично частица, двигавшаяся из области ус -*- + со налево, должна была бы отразиться в точке остановки Ь}. Область й<я<6 запрещена для классич. движения. В квантовом случае существует конечная вероятность подбарьервого, туннельного, перехода (см. Туннельный эффект]. Для гладкого барьера в квазиклассическом приближении коэф. туннельного перехода ранен
Поскольку общее решение ур-ния (67) определяется двумя константами, можно положить с^ ≈ 0 и" тем самым избежать физически неприемлемого экспоненциально растущего при х -*∙ +оэ решения. Никаких ограничений на значения энергии в области (II) [так же, как в области (I)] не возникает, т. е. спектр энергии непрерывный. Однако уровни энергии [в отличие от двукратного вырождения в области (I)] невырожденные. Это связано с необходимостью определ. выбора коэф. в одном из линейно независимых решений (с4=0). Благодаря невырожденности уровней энергии решения ур-ния (67) ф(д:) HI|J*(J:) должны совпадать с точностью до множителя, т. е. волновая ф-ция в области (II) может быть выбрана действительной. Отсюда следует, что коэф. сг, са
в (68) удовлетворяют условию с^≈с^ т. е. плотности потоков в волнах, идущих при л ≈*∙ ≈ее налево и направо, одинаковы. Т. о., в области (II) квактовомеха-нич. движение, как и в классич. механике, финитно с одной стороны и соответствует полному отражению частицы, падающей слева на потенц. стенку. Однако, в отличие от классич. механики, в квантовомеханпч. движении частица способна с экспоненциально затухающей вероятностью проникать внутрь барьера [см. (73)]. Это и обусловливает возможность подбарьерпых переходов в случаях, когда барьер имеет конечную ширину. Точным волновым аналогов движения частиц в области (II) является полное внутреннее отражение света на границе двух сред.
В области (III) асимптотика решения ур-ния (67) при х -*- +йо [так же, как и в области (II)] имеет вид (73), а при ж-»-≈оо вместо (68) будет
х,д:
2 _
Xl
(У, -
(74)
(72)
v
где а(┬) и Ъ{£) ≈ классич. точки остановки. Всличи-на D в классич. пределе (7i ≈*∙ 0) обращается в нуль (в
При этом коэф. с3, с4 в (73) будут выражаться через сь f2 линейно с помощью (70). Условие ограниченности т|)(л:) при х -*- ≈со приводит к требованию ^≈0. Однако при этом для произвольного значения энергии из области (III) нельзя добиться ограниченности ty(x) для х -*∙ +оо, т. к., согласно (70), eg=al2c2, c*~сс22с2 и коэф. с4 при экспоненциально растущем решении (73) будет, вообще говоря, отличен от нуля. Физически до-
