|
|
временного уравнения Шр╦дивгера (29) и имеют вид:
-- ехр {(-*£/£) /}|> (63)
где i|i^,) не .зависит от времени и представляет собой собстп. лектор оператора Гамильтона:
(64)
принадлежащий собств. значению энергии 8. Ур-ние (f>4) является одним из осн. ур-ний К. м. и наз, стационарным уравнением Ш р ╦ д и н г е р а. В стационарном состоянии постоянны и не меняются со временем ср. значение (любой) физ. величины / (ве
зависящей явно от времени) и вероятности ш* обнару-
J i
ЖИТЕ, при измерении то или иное значение Д этой величины,
7= <V J 7 1 V> = < [ / | Ц) = const,
Стационарное уравнение Шр╦дингера
В общем случае каждая квантовоме\~анич. система характеризуется своим энергетич. спектром, определяемым из ур-пня (64). В зависимости от вида потенц. энергии (т, е. от характера взаимодействия в системе), эпергетич. спектр может быть либо дискретным (как у осциллятора), либо непрерывным (как у свободной частицы), либо смешанным (напр., уровни атома при энергиях возбуждения, меньших энергий ионизации, дискретны, а при больших энергиях ≈ непрерывны).
Характер квантовомеханич. движения, описываемого ур-нием (64), можно понять, рассматривал одномерное движение частицы (вдоль ося х) и случае, когда потенц, энергия V зависит только от х. Ур-иие Шр╦дингера в конфигурац. пространстве
1т
2 =
^ const-
сводится к ур-нию
В частности, не меняется оо временем вероятность обнаружить частицу в окрестности к.-л. точки (поскольку для волновой ф-ции ^(r, 0~cxp{( ≈ i£l~h }*}^(г) стационарного состояния |¥ (/∙, t)\z = \ty С/*)!2). Т. о., стационарное состояние аналогично стоячей волне, в к-рой зависимость от времени факторизована и амплитуда ко-леОапий D каждой точке не зависит от времени.
Соотношение неопредел╦нностей для энергии и времени
Для онергии и времени СН
Д£.Дг^=А (65)
отличается по смыслу от аналогичного соотношения (42), поскольку время t не является динамич. переменной и должно рассматриваться как параметр. Для нестационарных состояний с характерным разбросом энергии Д£ под величиной Д( в (65) следует понимать промежуток времени, в течение к-рого существенно (на величину соответствующей дисперсии) изменяются ср. значения физ, величин, характеризующих систему. Так, для волнового пакета шириной Д:е«1/ДА величина Ai соответствует времени его прохождения через заданную точку Да« Даг/^.р^-Л/Дш (где игр ≈ ды/dk ≈ групповая скорость пакета, а Ди ≈ характерный разброс частот). Для квазистационарного состояния (см. ниже) в качестве Д* выступает его время жизни т, и из соотношения (65) получается выражение для его ширины: Г~ Г(,/т.
Др. аспект соотношения (65) заключается в том, что возмущение, действующее на систему в течение времени Д/> вызывает в ней (независимо от своей величины) переходы между уровнями энергии в интервале Д£, определяемом (65) [отсюда получается, напр., критерий адиабатичности (см. Адиабатические возмущения}]. Этот аспект тесно связан с первым. Действительно, если рассматривать данную и возмущающую е╦ системы как подсистемы единой замкнутой системы, то можно заключить, что последняя должна быть нестационарной и обладать характерным временем Д( изменения своих параметров (поскольку именно на это время включается взаимодействие между подсистемами). Отсюда следует, что объедин╦нная система обладает разбросом по энергии Л£^#/Дг. Если рассматриваемая подсистема первоначально находилась в стационарном состоянии, то таким разбросом анергии обладала бы возмущающая подсистема. Данная же подсистема приобретает его в результате обмена энергией при взаимодействии с возмущающей подсистемой. Условно можно сказать, что физ. система на короткие времена Д£~Д/Д£ может переходить в виртуальные состояния с нарушением закона ^охранения энергии на величину Д£. Из (65) следует, что взаимодействие, приносимое виртуальными частицами с массой Л/, должно иметь радиус ti/Mc.
(86)
\ /
(67)
где выражсЕше р*-(х} = %т [8 ≈ V(х}\ совпадает с квадратом классич. импульса частицы (с энергией £) в точке х. В классич. механике должно всегда выполняться условие £^У(,т), прич╦м точки х0, в к-рых У(я0)≈£, являются точками остановки и ограничивают область возможного классич. движения. В отличие от классич, механики, ур-ние (66) имеет смысл и в области F(#)> >£, где классич. импульс формально становится мнимым. Эту область движения наз. «неклассической». Для действит. решения ур-ния (67) ty"(x} обращается в нуль в точках остановки и в точках, где обращается в нуль сама т|з(аг). Эти точки являются точками перегиба ф-ции г|?(т). Отсюда вытекает, что в неклассич. области ty(z) либо вовсе не обращается в нуль (будучи направленной выпуклостью вниз приа|)>0 или выпуклостью вверх при ∙ф<0), либо имеет всего один нуль, где происходит перегиб и поэтому сохраняется монотонное изменение ф(я), В классич. же области движения возможны осцилляции ф-цииi|)(аг). Т. о., поведениеty{x)e классич. и нскласснч. областях качественно различно.
Рассмотрим квантовомеханич, движение во внеш. поле с V(x), изображ╦нной на рис. 6, Для большей общ-
KdJ.fi
(I)
Рис. 6.
ностя будем полагать наличие у 7(ж) как потенц. барьера, так и потенциальной ямы, а также считать, что предельные значения V при х -*- ±сс отличаются друг от друга (для определ╦нности V2>V1). Характер движения в таком поле качественно определяется положением энергии & по отношению к предельным значениям оотенц. энергии V^ н V2 на бесконечности. Он существенно различен в тр╦х областях: ^>Va^V1 (1); У2^> >£>Р!. (П); Vmln<S<Vl<tVt (III) <ymin-MHH. значение потенц. энергии). В области (I) при х -*∙ ≈ао существуют два приближ╦нных линейно независимых
решения ур-ния (67): ****'*, ∙ k\=2m(g≈VO/Й'Х), к-рые можно рассматривать как асимптотику нек-рых
о
X
<
3
285
