о
X
284
ым ф-ция и относительно изменения знака координат частиц), В случае коммутации Р с гамильтонианом система, находившаяся первоначально в состоянии с к.-л. определ. собств. значением Р, будет с точением времени оставаться в этом состоянии, т. е. пространств, ч╦тность в процессе эволюции системы сохраняется. Т. к. пространств, ч╦тность системы, состоящей из неск. невзаимодействующих подсистем, равна произведению пространств, ч╦тностей подсистем, она является мультипликативным квантовым числом.
Др. пример мультипликативного квантового числа ≈
. зарядовая, четность. Поскольку гамильтониан сильного
и эл.-магн. взаимодействий не меняется при зарядовом
сопряжении (замене всех частиц на античастицы], он
! коммутирует с оператором зарядового сопряжения Ct собстн. значения к-рого, как и для пространств, инверсии, равны С~±\. Собетв. состояния оператора С могут быть только у истинно нейтральных систем (см. Истинно нейтральные частицы], т. К. только такие системы при зарядовом сопряжении переходят сами
: в себя. Именно для них в процессах сильного и эл.-
∙магн. взаимодействий сохраняется зарядовая ч╦тность. В процессах слабого взаимодействия, гамильтониан к-рого не меняется при СР-преобразовании (см. СР-ин-вариантностъ]) сохраняется £Р-ч╦тн.ость.
Особое значение имеет инвариантность гамильтониана системы относительно перестановки одинаковых частиц. Коммутативность гамильтониана с операторами перестановки любой пары одинаковых частиц означает, что в процессе эволюции системы тип симметрии е╦ волновой ф-ции относительно перестановок одинаковых частиц не меняется со временем. В частности, волновые ф-ции, симметричные (антисимметричные) относительно перестановки любой пары одинаковых частиц, остаются симметричными (антисимметричными). Это позволяет ввести особые постулаты К. м., необходимые для описания систем одинаковых частиц (см. ниже).
Обратимость уравнения Шр╦дингера во времени
Ур-ние Шр╦дингера для системы бесспиновых частиц, взаимодействующих по центр, закону или (и) находящихся в электрич. поло (в отсутствие магнитного), сохраняет свой вид при замене (на ≈t и одноврем. переходе к комплексному сопряжению (т. к. для таких сие-
∙- "V
тем Я*=Н). На этом основана симметрия К. м. по отношению к обращению времени: если возможно к.-л. кваитовомеханич. движение, описываемое вектором состояния |ip>, то возможно и движение, описываемое вектором состояния |т|;*>, при к-ром система проходит во времени те же состояния в обратном порядке. Для частиц со спином симметрия относительно- обращений времени будет выполняться, если одновременно с переходом от |i|?> к |ф*> изменить направление проекции спинов частиц (т. к. она меняет знак при замене t -*- ≈/). При наличии магн. поля симметрия относительно обращения времени будет выполняться, если одновременно с заменой ( -*- ≈t рассматривать движение в магн, поле, знак к-рого измен╦н на противоположный. Это естественно, т. к. ур-ния эл.-магн. по\ля (Максвелла уравнения) симметричны относительно обращения времени при одноврем. замене напряж╦нности магн. поля -Н-+-
-»- ≈Н (или эквивалентной замене скалярного и векторного потенциалов: ф ->∙ ф, А -*∙ ≈А], Формально обратимость ур-ния Шр╦дпнгера в этом случае имеет место благодаря тому, что комплексно-сопряж╦нный гамильтониан; для частиц в ял.-магн. поле совпадает с гамильтонианом, преобразованным в соответствии с заменой ф -н*- <р, Л ≈*∙ ^-А.
Симметрия относительно обращения времени приводит к ряду иажных следствий, таких, как Крамерса теорема, 'равенство коэф. туннельных переходов при прохождении потенциального барьера.с разных сторон, теорема взаимности (согласно к-рон совпадают импли-
туды двух процессов рассеяния, являющихся обращ╦нными по времени по отношению друг к другу). Существенно, что в К. м. эта симметрия относится лишь к эволюции вектора состояния и не включает процесс измерения, к-рый носит необратимый характер.
Плотность потока вероятности
Из ур-ния Щр╦дингсра в конфигурац. представлении с гамильтонианом (33) вытекает ур.авненио непрерывности:
.|£ + divj = 0, (57)
где р ≈ плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатами (я, ^, z) в момент времени t, а вектор
) (58)
по своему смыслу представляет собой плотность потока вероятности. Т. о., вероятность частице пройти за ед. времени через площадку ба равна: ddu?/dt~(jn)6o (n ≈ единичная нормаль к бо). Соотношение (57) аналогично ур-нию ненрерывности в гидродинамике и является не-посредств. следствием сохранения полной вероятности (и отвечающего этому требованию условия эрмитовостп гамильтониана). Если волновая ф-ция представлена в видеф≈Л ехр(*Ф) (где амплитуда А (х, у, z, t] и фаза Ф (х, г/, 2, t] ≈действит. числа), то
* " РН-Ф11- (59)
В частности, для плоской волны (Ф ≈ ≈ wtf+ur) ур-нне (59) по аналогии с гидродинамикой да╦т: j=pvt где v=
=p/m-=hk/m. (В связи с этим отметим, что оператор (≈i /m)y в (58) представляет собой оператор скорости v = pjm.) Из (59) следует, что отличный от нуля поток вероятности существует только в том случае, если волновая ф-ция имеет зависящую от координат фазу (если т|з ≈ действительная, то .?^=0). Несколько др. ситуация будет для заряж. частицы в эл.-магн, гголет волновая ф-ция к-рой оказывается неоднозначной из-за неоднозначности потенциалов поля, определ╦нных с точностью до градиентного преобразования;
A^A+Vfi 9_b9_±|f, (60)
где f(x, уч z, t) ≈ произвольная ф-ция координат и времени. Поскольку преобразования (60) не меняют значений напряж╦нностей полей, они не должны влиять и на любые др. величины, имеющие физ. смысл. Действительно, ур-ние Шр╦дингера с гамильтонианом (34) не меняется при преобразовании (60), если одновременно проводится преобразование волновой ф-ции;
(61)
(62)
При этом плотность потока вероятности равна
≈
и также оста╦тся неизменной при одноврем. проведении преобразований (60) и (61)>
Зависимость фазы волновой ф-ции от потенциалов поля может приводить к наблюдаемым интерференц, эффектам даже в отсутствие прямого силового воздействия на заряж. частицу (см, Ааронова ≈ Бома эффект].
'∙∙ Стационарные состояния
В классич. механике ф-ция Гамильтона, не зависящая явно от времени, равна сохраняющейся со временем энергии системы. Соответственно в К. ц. физ, система, гамильтониан к-рон не зависит'от времени, может находиться в состояниях с определ. энергией. Эти состояния наз. стационарными. Отвечающие им векторы состояния являются частными решениями
