О
н* X
временно. В любом состоянии системы между дисперсиями этих величин существует соотношение неопредел╦нностей (СН):
1
I/.
(39)
где [/, g] ≈} g≈g f≈ коммутатор операторов / и g. Поскольку коммутатор физ, величин в классич. пределе должен обращаться в нуль, величина его пропорциональна /L Поэтому правая часть соотношения (39) пропорциональна ЙЛ В частности, для оператора компоненты импульса и соответствующей координаты
(40)
и СН для этих величин имеет вид:
Оно означает, что для состояния, в к-ром частица локализована в области пространства Ах (рис. 5, и),
Рис. 5.
возможный разброс значений е╦ импульса (около его ср. значения) заключ╦н в области Дрх (рис. 5, б), определяемой соотношением
те с r^aB = rt'*/'"e*~u,;)»iu~e см невозможно, т, е. электрон не может упасть на ядро ≈ атом устойчив. Величина ав и является радиусом атома водорода (бо-ровским радиусом). Ему соответствует максимально возможная энергия связи атома £└ =≈е2/2аь~ ≈ 13,6эВ, определяющая его минимальную энергию ≈ энергию основного состояния.
Т. о., квантовомеханические представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры атома, выразив его радиус через мировые постоянные я, т, е,
Указанные соображения позволяют понять устойчивость др. систем и оценить их характерные энергии. Действительно, из СН следует, что для частицы с массой н(, соисршающей движение в области с линейными
размерами ~гп, ср. кинетич. энергия будет 7lSfc2/w*o* Применяя эту оценку к нуклонам в ядре [m^l.fiX X 10~24 г, г0«=(10-13≈10~12)см], получаем характерные энергии порядка (1 ≈10) МэВ. В то же время для вра-щат. уровней молекулы водорода (г0~10~* см) она да╦т оценку 10~2 эВ.
Для некоммутирующих величин СН являются частным случаем общего дополнительности принципа Бора.
СН для анергии и времени требует особого рассмотрения (см, ниже).
Производная физической величины по времени
Ср. значение физ. величины является, вообще говоря, ф-цией времени. Это определяется зависимостью от времени вектора состояния |х|>>, рассматриваемого в (3В) в Шр╦дингера представлении. (Помимо этого возможна
Явная зависимость оператора / от времени.) Производная ср. значения / по времени является ср. значением нек-рого оператора, к-рый, по определению, наз. производной физ. величины по времени:
ft.
(42)
Т. о., монохроматич. волна с определ. импульсом (&рх -ь 0) должна заполнять вс╦ пространство (Дл; ->-≈ *- оо ). Соотношение (39) может быть уточнено пут╦м использования новой характеристики ≈ корреляции величин /, g. Если определить коэф. корреляции г:
df_ dt
где
dt
ft
(43)
(44)
У
то для состояний, в к-рых
(39), принимает вид:
С др. стороны, если использовать ф~лу (21), то зависимость в (36) от времени может быть перенесена с векторов состояния на операторы ///:
14>о>,
_в_ 282
Состояния системы, минимизирующие СН (т. е. отвечающие знаку равенства), наз. когерентными состояниями.
СН играет большую эвристич. роль, т. к. мн. результаты задач, рассматриваемых в К. м., могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классич. механики с СН. Важный лример ≈ проблема устойчивости атома. Рассмотрим эту задачу для атома водорода. Пусть электрон движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса г со скоростью v. По закону Кулона сила притяжения электрона к ядру равна e^/r^j где е ≈ заряд электрона, а центростремит. ускорение равно v*fr, По второму закону Ньютона, mv*jr=e*lr*' (т ≈ масса электрона), т. е. радиус орбиты r=e*/mvz может быть сколь угодно малым, если v достаточно велика. Но в К. м, должно выполняться СН. Если допустить неопредел╦нность положения электрона в пределах радиуса его орбиты г, а неопредел╦нность скорости ≈ в пределах L>, т. е. неопредел╦нность импульса в пределах Др≈ mi?, то (41) можно предста-вить в виде: mvr^lb, Отсюда можно получить t?s^2/A и . Следовательно, движение электрона по орби-
(45)
Это соответствует Гейаенберга представлению. Используя ур-ние ihdUjdt=HU4 к-рому подчиняется оператор
эволюции, можно получить для производной d/H/dt выражение, по форме аналогичное (44), но имеющее др. смысл, т, к. оно относится непосредственно к производной физ, величины, представленной е╦ гейзенберго-иым оператором;
_н at
н
(46)
Можно использовать также взаимодействия представление, являющееся в нек-ром смысле промежуточным между, представлениями Шр╦дингера и Гейзенберга.
Из (44) и (46) следует, в частности, что ср. значения физ. величин изменяются по законам классич. механики; это положение наз. Эренфеста теоремой, В соответствии с ним центр волнового пакета в предельном случае малых длин волн будет двигаться но классич. траектории.
