|
|
скоп отвечает определ╦нное поведение волновых нолей, к-рые могут быть представлены в виде
а ехр
(24)
При длине волны X-> 0 фаза <p(r, t) (наз. эйконалом) очень быстро меняется с расстоянием, и е╦ изменение на характерных размерах L>X велико. Волновой вектор и частота волны определяются производными эйконала:
"Ф ∙ / О С v
еи^- ≈ ≈rt (25)
Согласно принципу Ферма, лучи света между двумя точками распространяются по траекториям, соответствующим миним. изменению эйконала. Исходя из отме-
мерного случая, напр.т она выражается через производную 6 функции:
L/ л, л * fix - ' * V /
Действие оператора координаты частицы в конфпгурац. пространстве сводится к умножению волновой ф-ции на координату.
В конфигурац. представлении гамильтониан получается заменой обобщ╦нных импульсов в ф-ции Гамильтона соответствующими операторами. Так, для частицы с массой m в потенц. ноле гамильтониан имеет вид:
(≈ I/iV)2 i T7 /_ .. ,\ _ ~ " └2 \ у (т └ ,-\ /ЧЧ\
#> zt~ ^г \ ^v l*i У* *Л w°/
II ^
2m
2m
Волновая оптика
Геометрическая оптика
Квантовая (волновая)
4
= и/S/А
Классическая механика
Световые
лучи
(принцип
Ферма)
где V (х, г/, z) ≈ потенц. энергия частицы в этом поле, а для частицы с зарядом в и эл.-магн. поле, описываемом скалярным ф и векторным Л потенциалами:
(34)
Траектории
частиц (принцип Наименьшего действия)
Рис. 4.
ченных аналогий (рпс. 4), можно ожидать, что волновая ф-ция частицы в конфигурац. представлении в предельном случае X -*∙ 0 должна иметь вид
(26)
где S ≈ действие, а К выступает как обезразмериваю-щпй множитель в экспоненте. В классич, пределе $ул> >1, и траектория частицы между двумя точками определяется минимумом S, Обобщ╦нный импульс $* и ф-ция Гамильтона Н частицы при этом равны:
5>=VS, И = ≈£ ∙ (27)
Ф-лы (25) ≈ (27) при ф≈ S/k соответствуют гипотезе де Бройля. Используя (27) и дифференцируя ф-цию (26) по времени, получаем выражение:
(28)
Сравнивая (28) с общей зависимостью вектора состояния от времени (23), можно на основании принципа соответствия заключить, что оператор К отвечает ф-ции Гамильтона, дел╦нной на Я. Обобщая полученный результат на произвольные системы, принимают в виде специального постулата:
IV≈эволюция вектора состояния описывается временным уравнением Шр╦дингера,
ш -гт- г|з> = Н [ \|э>, . (29)
где Н ≈ гамильтониан системы.
Аналогично, дифференцируя (2С) ио координатам,
имеем:
≈ iK \rty ≈ $^. (30)
Обобщая этот результат (с уч╦том принципа соответствия), принимают в качестве постулата выражение для оператора обобщ╦нного импульса в конфигурац. пространстве:
(31)
2т
(Существенно, что оператор ≈ iky отвечает именно обобщ╦нному импульсу <у* частицы в эл.-магн, ноле, К-рый в классич. механике имеет вид: у=тг-\-(с!с}А.) С помощью постулатов 1 ≈IV может быть полностью построена матем. схема К. м. [Для описания систем из одинаковых частиц необходим дополнит, постулат (см, ниже)]. Спец, исследования показали, что система постулатов Н. м. полна и непротиворечива. Ч╦ткие правила устанавливают соотношение между элементами матем. схемы и физ. величинами.
Среднее значение физической величины. Дисперсия
Согласно постулату III, вероятность получить в результате измерения физ. величины / е╦ собстд. апачсиир // равна |с,'12, где с/ являются коэф. разложения вектора состояния системы ]\|э} по собств. состояниям измеряемой величины. Поэтому ср. значение / физ. величины / в данном состоянии системы равно:
7-2
(33)
f-»
Используя условие /|/('>=/Л//> и разложение (14), имеем:
Г= <+!/╧>∙ Об)
Если вектор состояния задай в базисе [#,->, отличном от собств. векторов измеряемой величины, т. е. |\|з>≈∙
= 2a/J^/>, то матрица оператора / недиагональна и (36)
принимает вид
соответствующий матричному произведению в
"/11 /12 ..-Ч '" '
(37)
. . . . .} \ .
В случае, ногда система находится в собств. состоянии измеряемой величины, ср. значение совпадает с ее 'собств. значением в этом состоянии. В общем случае существует разброс возможных значений измеряемой величины от ср. значения, характеризуемый (ср. квадратичным отклонением):
(38)
Ввиду непрерывного (континуального) характера конфигурац. пространства матрица оператора импульса представляет собой обобщ╦нную функцию. Для одно-
Соотношение неопредел╦нностей
Если операторы /, g двух физ. величин /, g не комму-тируют, эти величины не могут быть точно измерены
^ ч
<
ш О
