|
|
X
еа
эе
выражение |с/|2 = |</ } ty>l2 представляет собой плотность вероятности, т.е. вероятность dw^f+aj обнаружить величину / в интервале (/, f~\-df) равна:
Условие (15) формально противоречит постулату I, т. к. вектор состояния |/>, принадлежащий непрерывному спектру, имеет бесконечную норму. Это связано с тем, что «монохроматич.» состояние | />, выделенное из непрерывного спектра, является матем. идеализацией. Подобной идеализацией является, напр., монохрома-тич. плоская эл.-маги. волна, к-рая должна была бы заполнять вс╦ пространство н иметь поэтому бесконечную энергию. В действительности, любая физ. величина, принимающая непрерывные значения, может быть 'определена лишь с нек-pou точностью ≈ в нок ром ин-|тервале Д/, зависящем от точности прибора. Вектор со-' стояния, отвечающий такому определению, представляет собой волновой, пакет, составленный из монохро-'матнч. состояний / в интервале Д/ и имеющий конечную 1 норму* Т.О., для физ. векторов состояния противоречия с постулатом 1 нет. Учитывая, однако, матем. преимущества использования монохроматич. состояний для описания непрерывного спектра, производится ;форм, расширение допустимого постулатом I класса векторов состояний пут╦м включения в него нек-рых iсобств. векторов с бесконечной нормой (при условии, что из них может быть составлен волновой пакет с конечной нормой).
Постулат, определяющий зависимость вектора состояния от времени, будет сформулирован ниже [см. (29)].
Представления вектора состояния. Состояние системы определяется заданием нек-рой совокупности физ. величин, характеризующих систему,≈ т. н. полного набора. Число физ. величин, составляющих полный набор, равно числу степеней свободы системы (включая возможные внутр. степени свободы). Естественно, что физ. величины, входящие в полный набор, должны быть одновременно измеримыми, способными принимать одновременно определ. значения. Это свидетельствует о том, что соответствующие данным величинам операторы должны иметь общие собств. векторы. Необходимым и достаточным условием этого является коммутативность (переставимость) соответствующих операторов. Т.о., для физ. величин F, G, . . ., Я, составляющих полный набор, должны выполняться условия коммутации:
F6^ GT, ..., FH = HF, ..., GH - HG, ... (17)
Общий собств. вектор этих величин удобно обозначать индексами их собств. значений: |/Л, G^, . . ., Я/>. Любой вектор состояния системы ]д|э> может быть представлен в виде:
Как отмечалось, для непрерывного спектра собств. значений символы суммы в этих ф-лах означают интегрирование.) Если в качестве измеряемых величин взять координаты частиц, то волновая ф-ция системы будет задана в т. н. конфигурационном представлении, В частности, для одной частицы волновая ф-ция ^ (г) представляет собой коэф. разложения вектора состояния
|А|)> по собств. векторам |г> операторов координаты г ≈
= (х, у, z),^(r) = <r|i|>>. В этом случае |л|)(г)|2 определяет вероятность dw обнаружить частицу в бесконечно малом объ╦ме dV вокруг точки г: dw≈\ty(r)\zdV.
В ряде задач оказывается полезным импульсное представление, в к-ром в качестве полного набора ис-
пользуются операторы проекций импульса частицы Ру*
Эволюция системы во времени
Полпота описания системы, согласно постулату I, подразумевает, что задание вектора состояния в к.-л. момент времени (0, 1^ (/[>}>, позволяет найти вектор состояния |ф(*)> в любой последующий момент времени t. Т. о., имеется соответствие |т|з(£0)> -+∙ |ip(0>i T- е. должен существовать оператор 6(tt tQ) (оператор эволюции) такой, что
\y(t)) = U(t, *e) | ч|) (/о)>- (21) Сохранение нормы вектора состояния (сохранение полной вероятности) требует, чтобы U был унитарным опе-
ратором: U+ U^i (где U+ эрмитово сопряж╦н С/). Рассматривая эволюцию за бесконечно малое время dt>
можно представить оператор U(t~\-dt^ t) [с точностью до в виде
) (22)
(использовано, что U(tr ') ≈ !)∙ Условие унитарности приводит в этом случае к условию А + =≈ А , к-рое будет выполняться, вели A = ±iK, где К ≈ нек-рый эрмитов оператор. Полагая А=≈ iK и используя разложение
^ |ip(0>t можно получить ур-пие:
(23)
где | ≈ совокупность собств. значений величин, входящих в выбранный полный набор, а совокупность координат а(£) вектора состояшш ≈ волновая ф-ция системы в представлении, использующем в качестве базиса собств. векторы этого полного набора. Задание волновой ф-ции в к.-л. представлении полностью определяет вектор состояния системы и, в частности, е╦ волновую ф-цию в любом др. представлении. Еслиг] ≈ совокупность собств. значений величин, составляющих др. полный набор (отличный от £), то волновая ф-ция b (г|) в этом представлении
- b
^ 280
выражается через волновую ф-цию а(|), ит наоборот, а(|) может быть выражена через Ь(г\):
(20)
ч
к-рому в соответствии с постулатом I должен подчиняться вектор состояния системы. Для того чтобы установить, какой физ. величине соответствует К, необходим дополнительный физический принцип ≈ принцип соответствия .
Принцип соответствия и временнбе уравнение
Шр╦дингера
Естественно потребовать, чтобы в пределе, когда де-бройлевская длина волны частицы значительно меньше размеров, характерных для данной задачи (в частности, для макроскопических тел), законы К. м, переходили бы в законы движения классической механики, отвечающие движению частиц (тел) по классическим траекториям, а действия квантовомехапических операторов на векторы состояния сводились бы к умножению их на соответствующие классические величины, Эти требования составляют содержание принципа соответствия в К. м. Диалогичный предельный переход при дл. волны X ->- 0 от законов волновой оптики к законам геом. оптики хорошо известен. С др. стороны, существует тесная аналогия между классич. механикой и геом, оптикой. Лучи света в геом. оптике можно сопоставить с траекториями частиц; при этом закон распространения лучей между двумя точками определяется Ферма принципом, аналогичным наименьшего действия принципу для движения частиц. Предельному переходу от волновой оптики к геометриче-
