|
|
к-рых вещественны. Собств. векторы эрмито-вого оператора, принадлежащие разл. собств. значениям, ортогональны друг к другу, т. е. <Х Д/>=0. Из них можно построить ортогональный базис в пространстве состояний. Удобно нормировать эти базисные векторы на единицу: <А. [ Х> = 1. Произвольный вектор |^з> можно разложить по этому базису:
При этом
и если вектор |i£> нормирован на единицу, то
≈ 1.
суммы ∙ в этих ф-лах означает суммирование по дискретному и интегрирование по непрерывному спектру значений К. В последнем случае собств. векторы предполагаются нормированными на 6-фупкцию:
= б(Я-Г). (И)
Любой линейный оператор М в выбранном базисе может быть представлен матрицей:
М
л...
!
└
К
(12)
Если AJT≈ эрмитов оператор, то MX-, hk~M^ ^ .
(Для |Л/>, являющихся собств. векторами оператора Л/ ,
матрица Д/\ , диагоналыга,) Если сопоставлять
А/' Ч
столбец из его коэффици-
с произвольным вектором
в выбранном базисе (9), то действие опера-
≈ f^,
тора М на |ij>>( Л/|-ф>= умножению:
сводится к матричному
(13)
отвечает координатам вектора
где столбец
в том же базисе: cf^
Принципиальное значение для построения матем. аппарата К. м. имеет тот факт, что для каждой физ. велпчипы существуют нек-рые выделенные состояния системы, в к-рых эта величина принимает вполне определ. (единств.) значение. По существу это свойство является определением измеримой (физ.} величины, а состояния, в к-рых физ. величина имеет определ. значение, паз. собственными состояниями этой величины.
Т, к. в результате измерений физ. величины / в любом произвольном состоянии системы |1{з> должно получаться одно из собств. значений измеряемой величины / , то ]>|?} должно быть представимо в виде линейной комбинации собств. состояний этой физ. величины:
Т. о., совокупность собств. состояний физ. величины должна составлять (аналогично совокупности собств. векторов линейного эрмитова оператора) полный базис.
<
ев О
X
Амплитуды вероятности с; представляют собой координаты вектора состояния |ip> в выбранном базисе (для простоты ограничимся системой с одной степенью свободы). Заданно ct полностью определяет вектор состояния системы. Совокупность коэф. с/ на:», в о л п о в о и функцией состояния в представлении величины /. Согласно вероятностной трактовке принципа суперпозиции состояний, сумма V| с,- |2≈Сф | it>> должна быть
равна единице, т. е. вектор состояния должен иметь конечную (приводимую к единице) норму. Между собств. состояниями физ. величины и собств, векторами линейного эрмитова оператора можно заметить аналогию: во-первых, каждое из них отвечает определ. числу (собств. значению фяз. величины или собств. значению оператора), и, во-вторых, произвольный вектор линейного пространства должен быть представим в виде линейных комбинаций собств. векторов [ср* (14) и (9)]. Эта аналогия указывает на то, что физ. величине следует поставить в соответствие линейный эрмитов оператор, действующий в пространстве векторов состояния. На основании привед╦нных физ. соображений формулируются след, постулаты К. м.
Основные постулаты К. м. I. Состояние системы полностью описывается вектором состояния, к-рый должен быть однозначным (с точностью до произвольной фазы) и иметь конечную норму.
Полнота описания подразумевает, что задание вектора состояния в к.-л. определ. момент времени позволяет найти вектор состояния в любой др. момент времени и указать вероятности результатов измерения всех физ. величин в заданном состоянии системы.
Полное в указанном смысле описание квантовомеха-нич. системы (с помощью вектора состояния) оказывается невозможным в случае, когда рассматриваемая система является подсистемой нек-рой большей системы и существенно взаимодействует с е╦ остальными частями. В этом случае система но обладает определ. вектором состояния, и е╦ описание производится с помощью матрицы плотности. Состояния, описываемые вектором состояний, наз. чистыми состояиия-м и, в отличие от смешанных состояний, описываемых матрицей плотности. Описание с помощью матрицы плотности является наиб, общей формой кввнтовомеханич. описания. Оно лежит в основе квантовой статистик и.
П. Каждой физ. величине соответствует линейный эрмитов оператор, собств. значения к-рого являются возможными значениями физ. величины, а собств. векторы ≈ с╦ собств. состояниями, отвечающими выбранному собств. значению.
Конкретный вид линейных эрмитовых операторов, соответствующих таким физ. величинам, как импульс, угловой (орбитальный) момент, энергия, постулируется исходя из соответствия принципа^ требующего, чтобы в пределе П -»- 0 рассматриваемые физ. величины принимали «классич.» значения, и согласуется с общими принципами определения этих величин на основе законов сохранения (см. ниже). Вместе с тем в К. м. существуют такие линейные эрмитовы операторы [напр., отвечающие преобразованию векторов состояния при отражении осей координат (пространственной инверсии], перестановке одинаковых частиц и др.], к-рым соответствуют измеримые физ. величины, не имеющие классич. аналогов, напр, ч╦тность (см. Операторы].
III. В разложении (14) произвольного вектора состояния системы по ортонормированной системе собств. векторов | /,-> фнз. величины / значения | с, |а=|</,' | ^>|а равны вероятностям обнаружить систему в состояниях [ //>, т. е. вероятностям того, что при измерении / е╦ значение окажется равным //.
В случае, когда величина / имеет непрерывный спектр, а собств. состояния нормированы условием:
f> = б (/-/'), (15) 2П
