Ш/ Чжмапалогом ур-ния Эйри. Вероятность перехода опре-Ог деляется ф-лой
и и
^*^v
со
-ехр ≈
2 | ImS|
(9)
а /
момент
г ' где действие S≈ \ °[e
пересечения термов, находящийся, вообще говоря, в комплексной плоскости. При двукратном прохождении точки пересечения вероятность перехода равна wz= =2iPi(i≈u)-i). Возмущение F, приводящее к переходу между термами невозмущ╦нной системы, приводит к отталкиванию уровней и невозможности их пересечения при веществ, временах. Если возмущение V мало по сравнению с характерной разностью энергий вдали от точки пересечения, то момент 20 недал╦к от веществ. оси. В этом случае
lm S^
«од
-FT
где 6i, бз ≈ производные от невозмущ╦нных уровней энергии в точке пересечения. В случае, когда медленным является относит, движение двух ионов в молекуле, gl=vF;t где v ≈ скорость движения ядер вблизи точки пересечения термов, FJ ≈ сила, действующая на ядра, когда электроны находятся в состоянии с номером !. Подставляя (9) и (10J в выражение для w2, получаем ф-лу Лаидау ≈ Зпнера:
. (И)
Если один из уровней принадлежит непрерывному спектру, то ф-ла (11) описывает явление предиссоциа-ции молекулы.
К. п. с известными оговорками обобщается па случай движения в многомерном пространстве. Волновую ф-цию в этом случае можно записать в виде
(12)
Здесь S (г) ≈ классич. действие, подчиняющееся Га~ ≈ Якоби уравнению:
величина^! "1(/*) ≈ относит, площадь сечения бесконечно тонкого пучка классич. траекторий, провед╦нного нормально к импульсу p≈yS', суммирование в (12) проводится по всем классич. траекториям, проходящим через заданную точку г. Решение (12) обеспечивает закон сохранения числа частиц. Ф-ция А (г) удоилетво ряет ур-пию div\(p/p)A]=Gf эквивалентному ур-тшю непрерывности для пучка частиц. Аналогичное построение в оптике наз. методом эйконала или геометрической оптики методом. Площадь сечения пучка траекторий пропорц. произведению гл. радиусов кривизны поверхности волнового фронта S=coiist. Поверхности, на к-рых Л"1(г) обращается в нуль, наз. каустиками. Они являются огибающими класснч. траекторий, отделяющими классически доступные области от недоступных» подобно точкам поворота в одномерной задаче. В классически недоступной области волновая ф-ция по-прежнему имеет вид (12), но S (г) становится чисто мнимым, так что волновая функция экспоненциально убывает.
Вблизи каустик, но вдали от их особых точек волновая ф-ция сравнительно быстро меняется по нормали и медленно в касательной к каустике плоскости. Приближ╦нное решение вблизи каустик, как и в одномерном случае, подчиняется эталонным уравнениям, простейшим и наиболее типичным из к-рых является уравнение Эйри. Решение эталонных уравнений позволяет «сшить» киазиклассич. волновые ф-ции по обо стороны каустики.
Построение квазиклассич. волновых ф-ций, данное выше, обобщается па случаи системы мн. частиц, а так-
же на случай произвольной зависимости энергии от импульса, что важно в теории тв╦рдого тела.
К. п. в многомерном случае, данное ур-нием (12), осмысленно только при коночном и не слишком большом числе траекторий, проходящих через данную точку. Для этого необходимо, чтобы классич. движение было устойчивым хотя бы в нек-рых областях. Др. словами, нек-рая часть фазового пространства должна расслаиваться на инвариантные торы {см. Гамилътоно-еа система), по к-рым движется классич, система. Тогда правила квантования Бора ≈ Зоммерфельда принимают вид
(13)
где р ≈ обобщ╦нный импульс, д ≈ обобщ╦нная координата, интегрирование в (13) вед╦тся ио одной из независимых замкнутых кривых на торе, вообще говоря, не совпадающей с классич. траекторией, у, ≈ число, зависящее от того, сколько раз кривая С,- касается кнус-тлкн. Если известна, хотя бы приближ╦нно, к. -ч. замкнутая устойчивая классич. траектория, то в е╦ окрестности правила квантования (13} позволяют найти большое число уровней. Соответствующие волновые ф-ции локализованы в узком канале вокруг классич. траекто-
рии» площадь канала о^У^ПК, где 7? ≈ характерный линейный размер траектории,
Наиб, просто квазиклассич. правила квантования применяются для высоковозбужд╦нных состояний систем с почти разделяющимися переменными. Если невозмущ╦нная система невырождена, т. е. частоты ю,≈
= &~1^6"0/dttf' несоизмеримы (£0(д) ≈ энергия невозмущ╦нной системы, п, ≈ квантовые числа), то энергия изменяется на величину (7) возмущения У, усредн╦нного по всем фазовым переменным, а волновая ф-ция сосредоточена в окрестности Дл/~ \V\jti <иг около
фиксированных значений н(-. Если нек-ры╦ из частот соизмеримы, напр, две частоты tx»i и со2 равны друг другу, то разность соответствующих угл. переменных cpi ≈ фа медленно меняется, а квантовое число k = ≈ n-i ≈ п2 изменяется в широком интервале. Усредн╦нное по быстрым фазам возмущение V является залнмъто пианом для медленных переменных.
Правила перехода от квантовых к классич. величинам таковы. Классич. частоты определяют расстояния между соседними уровнями. Матричные элементы физ. величин переходят в фурье-компоненты соответствующих классич. величин. Наконец, перестановочным соотношениям операторов в квантовой мехами ко соответствуют классические Пуассона скобки, помноженные на ≈ i&.
Общепринято представление о том, что в случае, когда классич. движение хаотично, квантовая система демонстрирует нерегулярное поведение высоковозбуж-денных уровней. Их ср. плотность p(d?) определяется, как и в случае свободных частиц, производной по энергии от объ╦ма классически доступной области в фазовом пространстве. Напр,, для частицы, движущейся в по-тенц. поле U (г) в тр╦хмерном пространстве
Г 8>U
≈ U (г)] '∙'* dr.
Но расстояния между уровнями флуктуируют. Задача о распределении расстояний между уровнями не решена, намечены только нек-рые подходы к ней. Мало известно о статистич. характеристиках волновых ф-ций. Численные методы и теоретич. соображения показывают, что квадрат модуля волновой ф-ции максимален вблизи периодлч. классич. траекторий, даже если они неустойчивы. Энергия системы на такой траектории соответствует максимуму плотности состояний.
Для вычисления вероятности туннелирования в многомерном случае необходимо ницти траекторию, про-
