|
|
таковы:
1} y± ; 3}
; 4J y1==
2}
жение Л2-»-Л3 обычно имеет особенностями лишь «зон
тики- Уитни ≈ Кэли» (рис. 2; */!=#?, Уа≈^Л» ^3=3ra)* При переходе к высшим размерностям списки типич ных особенностей растут и даже становятся конти
бифуркац. значений параметра ц, при к-рых возникают особенности отображения (х, }i)-»-ji гиперповерхности F(x7 p,)~0 в пространство и,, где F ≈ типичное семейство гладких ф-ций вектора х и векторного параметра ц. Типичные особенности каустик (или градиентных отображений х->-д$/дх, или отображений Гаусса, сопоставляющих точке поверхности направление нормали) можно описать как множества бифуркац. значений
в
О
а
U
Рис, 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
нуалъными (напр., не всякое отображение Rn-+Rri при п>8 аппроксимируется устойчивым). Число классов топологически различных особенностей оста╦тся конечным при любых размерностях.
В теории бифуркаций рассматривается динамическая,
система, описываемая ур-нием #=9 (г, Е), с заданным векторным полем 9 в «-мерном фазовом пространстве {.г}. Поле зависит от /с-мерного параметра е. Множество состояний равновесия определяет в (п+&)-мерном пространстве {х, е} А-мерную поверхность 9 (г, е)=0. В типичном случае эта поверхность гладкая, но е╦ проекция на пространство «управляющих параметров* [г] может иметь особенности. Если рассматривать значения {е} как ф-ции на поверхности состоянцй равновесия, то точки, в к-рых якобиан этих ф-ций равен 0, наа, бифуркационными, а значения ф-ций в этих точках ≈ бифуркац. значениями параметров s. При подходе управляющих параметров к бифуркац. значениям положения равновесия «бифурцируют» (рождаются или умирают). Знание геометрии типичных особенностей позволяет описывать происходящие при этом явления, напр, скачкообразный переход системы к дал╦кому состоянию равновесия при плавном изменении параметров. Такие скачки способны разрушить систему (механическую, упругую, электрическую, биологическую, химическую н т. п.), откуда п название К. т.
Наиб, успех достигнут в приложениях К. т. к оптике, где даже типичные особенности каустик и перестройки волновых фронтов в тр╦хмерном пространстве ве были известны. Рассмотрим возмущение (свет, звук, ударную волну, эпидемию и др.), распространяющееся с единичной скоростью из области, ограниченной гладким фронтом. Чтобы построить фронт через время t, нужно отложить отрезок длины t па каждом луче нормали. Через нек-рое время на движущемся фронте появляются особенности в точках каустики (огибающей семейства лучей) исходного фронта. Напр., при распространении возмущения внутрь эллипса на плоскости особенности фронта скользят по каустике, имеющей 4 точки возврата (рис. 3). Эти особенности устойчивы (не исчезают при малой деформации исходного фронта). Типичные особенности фронтов в тр╦хмерном пространстве ≈ это самопересечения, р╦бра возврата (нормальная форма х2=^3) и л а с т о ч к и н ы хвосты [рис. 4; эта поверхность образована точками (а, 6, с), для к-рых многочлен #4-fax^-^bx^c имеет кратный корень]. Каустики в тр╦хмерном пространстве имеют особенности ещ╦ двух видов (пирамида и кошел╦к; рис. 5).
Почти все особенности волновых фронтов (или Ле-жапдра преобразований} можно описать как множества
параметра [л, при к-рых ф-ция F(x, u.) переменной х имеет вырожденную критич. точку. Ласточкин хвост, пирамида и котпел╦к получаются при
F^x
Особенностям каустик и фронтов геом. оптики соответствуют в волновой теории особенности асимптотик осциллирующих интегралов в методе стационарной фазы или многомерном перевала методе при слиянии неск. стационарных точек. По порядку величины интеграл при подходе к точке каустики возрастает в
X~v раз, где Я ≈ длина волны, а показатель v равен а/в для общей точки каустики (Az, особенность Эйри}; х/4 для общей точки ребра возврата (Л3, особенность Пир-си); 3/10 для ласточкина хвоста (особенность Л4}; 1/з для кошелька и пирамиды (особенности Z>4). Эти особенности связаны с простыми группами. Ли A b~SU'(£-M)i Dk~0(2k), а также с правильными многогранниками [конечными подгруппами группы 5(7(2)1. Показатель v определяет интенсивность света вблизи каустики и е╦
Рис. 5.
особенностей, разрушение среды интенсивной волной, скопление частиц при движении пылевидной среды с по-тенц. полем скоростей (с иным значением v) и т. п. Универсальность геометрии бифуркац. диаграмм позволяет использовать их для одновременного моделирования многих различных по своему физическому смыслу явлений.
Лит.: Постои Т., Стюарт И., Теория катастроф и е╦ приложения, плр. с англ., М., 1980; Арнольд В. И.р Теория катастроф, 1 изд., М., 1983; его же. Особенности, бифуркации и катастрофы, «УФН», 1983, т. 141, с, 569; Арнольд В. И,, Варченко А. Н,, Гусей и-За-д е С. М,, Особенности дифференцируемых отображений, [т. 1≈2], М.. 1982~-84; Гилмор Р., Прикладная теория катастроф, пер. с англ., кн. 1≈2, М., 1984. В. И. Арнольд.
245
