|
|
пространстве можно взять любую систему координат, связанную К. п, с декартовой, в к-рой q, р ≈ обычные координаты и импульсы.
В квантовой механике такого равноправия нет. Постулат канонического квантования, заменяющий скобки Пуассона {р^ <7/} ≈"5// ка?юнич. перестановочными соотношениями [/?,-, <?/]≥≈ i - fy/j формулируется для декартовой системы координат. Конкретный выбор гильбертова пространства $( векторов состояний системы и реализация р, q как самосопряж╦нных (эрмитовых) операторов в этом пространстве (их общая область определения должна быть плотной в .ffi) ыаз. представлением. К. п. в квантовой механике наз. преобразования представлений, сохраняющие канонич. перестановочные соотношения (см. Представ-лепий теория.}.
Для систем с конечным числом степеней свободы все представления канонич. перестановочных соотношений унитарно эквивалентны (теорема фон Неймана): для
любых двух представлений операторов а, а' и векторов состояний тр, 1|/ существует унитарный оператор
U, такой, что a'=UaU-, V= t/ty (знак + означает эрмитово сопряжение). Т. о., К. п. конечномерных квантовых систем всегда могут быть реализованы как унитарные преобразования, и поэтому он-и сохраняют спектры операторов, средние значения и др. динамич. характеристики. Напр., переход от шр╦дингерова к гейзенбергову описанию эволюции системы (см. Шр╦-дингера представление, Гейзенберга представление) является унитарным преобразованием, зависящим от
времени, с U (t, tft} = &x.p{≈iff (t≈г0}}, где Н ≈ оператор Гамильтона (гамильтониан}.
Для бесконечномерных квантовых систем теорема фон Пеймана неверна; существуют К. н., не сводящиеся к унитарным, и соответственно неэквивалентные представления канонич. перестановочных соотношений. Такие К. п. могут менять спектры операторов и в этом случае дают матем. описание важных физ. Эффектов ≈ появление голдстоуновских бозонов при спонтанном нарушении симме.трии, Хиггса механизм, изменение спектра состояний системы при фазовых переходах и др. К. п. является стандартным при╦мом нахождения спектра элементарных возбуждений («да-зичастиц} в статистич. физике. Примером такого К. п. служат Боголюбова канонические преобразования, с помощью к-рых находятся эти спектры для слабоне-идеальных бозе- и ферми-систем,
Лит.; ГолдстеЙн Г., Классическая механика, пер. с англ., 2 изд., М,, 1Й75; Д и р а н П., Принципы квантовой механики, пеи. с англ., 2 изд., М., 1979; Б р р е з и к Ф. А., Метод вторичного квантова ния, 2 изд.. М., 1986; Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., М., 1979; Э м х Ж,, Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поли, пер. с англ., М., 1976. В. В. Медведев, Б. П. Павлов.
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ ≈ см.
Гамильтона уравнения.
КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ ≈ то же, что йа-
мильтонов формализм,
КАНОНИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ в квантовой механике ≈ квантование на основе гамильтонова (иначе ≈ канонич.) формализма, аналогичного га-мильтонову формализму классич. механики,
В канонич. формализме осн. переменными являются обобщ╦нные координаты q^ и сопряж╦нные им (относительно ф-ции Лагранжа L или ф-ции Гамильтона Я) обобщ╦нные (канонич.} импульсы p^≈dLldq. Выражая ф-цию Гамильтона консервативной системы С конечным числом степеней свободы N (полную энергию системы) через канонич. переменные q^ pi (k, Z=l, 2, . . ., N), yp-ния движения в классич. механике можно записать в виде:
т
гдо
'QA дВ
дВ дА
(2)
классич. скобка Пуассона, a F (q, р] ≈ динамич. переменная, не зависящая явно от времени (через q, р обозначена совокупность всех q^, pi). Поэтому, в частности,
., Я}, pi={pt, Н} (4)
L 1 f i i 4 \tl-l f \ f
Ы" Кронекера символ),
Постулат К. к. состоит в замене переменных q, р на соответствующие операторы, действующие на волновую ф-цию состояния, прич╦м перестановочные соотношения для этих операторов и квантовые ур-ыия движения для них получаются из (3) и (4) по «правилу соответствия»: классич. скобка Пуассона заменяется на квантовую скобку Пуассона
ift.
определ╦нную через коммутатор операторов А1 В:
[А, В\^ АВ ≈ ВА, Поэтому ф-лы (3) превращаются в коммугацг соотно-
шения
а квантовые ур-ния движения принимают вид
p), Я (7,
(6)
(7)
где // ≈ гамильтониан- квантовомеханич. системы.
В квантовой теории поля ф-лы К. к. принимают специфич. формут отражающую бесконечное число степеней свободы и непрерывный характер переменных, к-рыми характеризуется поле. В качестве обобщ╦нных координат оказывается естественным выбрать значения ф-ции поля ф(ж, t) в к.-л. произвольный, но фиксированный момент времени £≈ ftf:
Индекс /с, т. о., становится непрерывным и тр╦хмерным, Канонич. импульс л (ос, *0) удобно определить через лагранжиан поля, точнее через плотность лагранжиана, L:
л
, *└) =
(8)
Off (х, (└)
Тогда перестановочные соотношения для обобщ╦нных координат и импульсов поля примут «непрерывный» вид т. н. одновременных перестановочных соотношений:
(ж', г└)]--
ф
л
= 0 (9)
[6 (ж≈ ж'} ≈ тр╦хмерная ф-цня Дирака], а форма ур-ний движения по сравнению с (7) не изменится.
В квантов о и теории релятивистских полей важную роль играют ковариантные перестановочные соотношения вида
[ф<а?, От Ф(05', «')] = iAA (да ≈ а;', 1 ≈ Г) = 'ЙД (х ≈ х'},
(10)
где Д ≈ нек-рая перестановочная ф-ция (х. х' ≈ четыр╦хмерные координаты). Переход от одновременных перестановочных соотношений (9) к разновременным (10) требует решения ур-ний движения для поля Ф(я) и на практике оказывается возможным лишь для свободных полей.
Лит.-1 Гайтлер В., Квантовая т?ория излучения, пер. с англ., (2 изд. ], М.т 1956, гл, 2; В е н т ц е л ь Г., Введение в квантовую теорию волновых полей, пер. с нем., М.≈ Л,, 19'м, гл. 1; Боголюбов Н. H.f Ширков Д.В., Квантовые поля, М., изд. 2, 1990, § 6. Д. В. Ширков.
III
О
ш
£
X
О
