|
|
полями. Поле Янга ≈ Миллса, соответствующее произвольной простой компактной' группе Ли, удобно описывать векторной ф-щтсй А └(ж), принимающей
значения в алгебре Ли этой группы: А└(х)≈А^(х)1а,
где ta ≈ генераторы группы в присоедин╦нном представлении (нумеруемые индексом а). Это значит, что
при каждом х поле А└{х)=-Ас^(х] является матрицей
в пространстве внутренней симметрии.
Динамика полей Янга ≈ Миллса фиксируется требованием калибровочной инвариантности. Если ограничиться мин. числом производных, то калибровоч-но-иивариаптпый лагранжиан Янга ≈ Миллса имеет вид;,
Т __ J_ 'Т.. р F .-_. __ _J_ ра Т?й (Л\
гДе ^JLIV^^M/* v ≈^v^u~f~#^u' ^v-l ≈тензор напряж╦нности поля Янга ≈ Миллса, g ≈ константа взаимодействия (константа связи).
Калнбровочно-инвариантное взаимодействие поля Янга ≈ Миллса с прочими нолями (полями материи) вводится пут╦м замены производных в свободном лагранжиане полей материи на ковариантные производные
>i T^I f* *^ / А \ t С \
где Г (А ) ≈ представление матриц А , соответствующее рассматриваемому представлению калибровочной группы. Так, если £≈5f/(2), как, напр., в объединенной теории эл.-магн. и слабого взаимодействий (т. е. в теории электрослабого взаимодействия)t а поля материи реализуют е╦ двумерное представление (напр., кварки одного поколения фермионов), то Г (А ) =
М-
= C%i}~^A^a, где тв (а = 1. 2, 3) *≈ Паули матрицщ для группы 6'[/(3) (напр., в квантовой хромодинамике)
Т(А^(2г)-гА^а, где ╧ (а-1, 2, . . ., 8) ≈ Гелл-
Мана матрицы.
Ур-ния Эйлера ≈ Лаграпжа для поля Янга ≈ Миллса имеют вид
где / ≈ ток полей материи. По форме эти ур-ния сов-
падают с ур-ниями Максвелла, отличаясь лишь явным видом тензора напряж╦нности F и ковариант-
ной производной D^.
Помимо полей Янга ≈ Миллса и эл.-магн. поля к К. п. относится также гравитац. ноле, если считать, что поля материи сосредоточены в конечном объ╦ме и исчезают на бесконечности. В этом случае группой симметрии является группа Пуанкаре, а калибровочными преобразованиями ≈ преобразования координат» не меняющие гравитац. полей на бесконечности. Роль калибровочных полей играют в зтом случае Кристоф-
феля символы r|iv {см. Тяготение).
Поля Яига ≈ Мкллса, как и гравитац. поле, допускают геом. интерпретацию. Подобно символам Крис-тоффеля в теории тяготения, они описывают параллельный перенос в пространстве внутр. симметрии; тензор напряж╦нности F является тензором кривизны этого
пространства. Последоват. геом, трактовка полей Янга ≈ Миллса может быть дана в рамках теории расслоенных пространств {см. Расслоение). Полю Янга ≈ Миллса в этой теории соответствует понятно связности в гл. расслоении.
Инвариантность относительно преобразований, зависящих от произвольной ф-ции, согласно второй Н╦тер теореме, приводит к тому, что в случае калиб-ровочно-инвариаптпых лагранжианов по все ур-ния Эйлера ≈ Лагранжа описывают динамику системы. Часть из ппх представляет собой ур-иия связи, прич╦м их число равно числу произвольных ф-ций, от к-рых зависит калибровочное преобразование. Так, для поля
Янга ≈ Миллса компонента Ап представляет собой не динамич. переменную, а множитель Лагранжа. Соответствующий ей канонич. импульс, вычисленный
по стандартной ф-ле /*/J≈6L/64JJ, тождественно обращается в нуль, а ур-нис Эйлера ≈ Лагранжа, получающееся при варьировании действия до А0,
Л,П.__т /7^1 О Ч\ П\
L/M/L"/0 \l≈ *"i &ч % \Ч
не содержит производных по времени и поэтому не описывает динамику системы, а является ур-нием связи. Наличие связей приводит к необходимости модифицировать процедуру канонического квантования. Наложение канонич. перестановочных соотношений на переменные А^ Р$, очевидным образом привело бы к противоречию с фактом обращения в пуль импульса Р0.
Общая теория квантования систем со связями была развита П. А. М. Дираком (Р. А. М, Dirac), Л. Д. Фад-деевым и др. Е╦ суть состоит в том, что канонич. перестановочные соотношения накладываются лишь на истинные динамич. переменные, к-рые можно найти, решив ур-ния связей и наложив дополнит, условия, являющиеся в случае полей Янга ≈ Миллса условиями калибровки. Если, напр., наложить на поля AI условие кулоновскои калибровки <?;Л/=0, то ур-ние связи (7J можно явно решить, выразив продольную часть вектора импульса Р,- через тр╦хмерно-поперечные
компоненты PI , А£. Если, подставить решение этого ур-ния в исходное действие, то оно будет зависеть
только от тр╦хмерно-поперечных компонент Р(-г, А ;, к-рые и являются в данном случае истинными динамич. переменными и в квантовой теории должны удовлетворять канонич. перестановочным соотношениям. В электродинамике подобная процедура соответствует описанию системы в терминах поперечно поляризованных фотонов.
В случае неабелевых К. н. решение ур-ния (7) представляет собой бесконечный ряд но константе связи g, подстановка к-рого в действие порождает бесконечный ряд вершин взаимодействия, отсутствовавших в исходном лагранжиане. Поэтому фейнмановская диаграммная техника (см. Фейнмана диаграммы), возникающая при построении теории возмущений для матрицы рассеяния, содержит дополнит, элементы. Оказывается, однако, что возникающий т. о. ряд теории возмущений можно воспроизвести с помощью введения вспомогат. полей {т. н. Фаддеева ≈ Попова духов) и конечного числа вершин, описывающих локальное взаимодействие этих полей с полями Янга ≈ Миллса.
Для нрактич. вычислений более удобными являются не калибровки типа кулоновскои, а явно релятивистски инвариантные калибровки, напр, лоренцова калибровка д А└ ≈0. В этом случае диаграммы Фейнмана» помимо стандартных элементов, содержат также дополнит, элементы, отвечающие «духовым полям». Релятивистски инвариантные правила Фейнмана удобно описывать с помощью эфф. действия, к-рое явно учитывает условие калибровки и вклад духовых полей. Это действие можно записать в виде
О аЛ = \ < ~ГТ" 1 Г J ",,..",,..≈∙ ~я~
J»
X
о
о. ш
з:
(8)
где Ц ≈ Д'Аламбера оператор, р ≈ параметр, фиксирующий калибровку. Духовые ноля с, с подчиняются статистике Ферми ≈ Дирака, т. е. являются антик ом мутирующими переменными. Они порождают лишь внутр. линии фейнмановских диаграмм и отсутствуют в наблюдаемых начальных и конечных асимп-тотич. состояниях. Эфф. действие (8), помимо духовых
полей с, с, содержит также нефиз. компоненты векторного поля А.ч описывающие продольно поляризо- 131
г*
