k54
a ш
. 1
p-цип Вг(р, q), Г (я, s), Ф(г) определяются след, значную аналитич. ф-цию в комплексной плоскости s
образом: с разрезом вдоль отрпцат. действительной полуоси,
z прич╦м
=±iO)≈Ci f≈x)±
Интегральный логарифм, определяе мый для s>0 ф-лой
со
, z)- f e'tt<*-idt,
df
0
О
Неполную гамма-функцию Г (a, z) при а^О, ≈ 1, ≈ 2, . . ., можно выразить через интегральные экспоненты
{Res > 0,
для к-рых справедливы рекуррентное соотношение и ф-ла дифференцирования:
(при 2>1 следует использовать гл. значение интеграла), связан с ф-цней Ei(a) соотношением
H(s} = Ei (In г). Ряд
определяет ф-цию li (z) как однозначную аналитич.
+ 2,0
+i;o
К т(*) = [*-* ≈ разложение в ряд:
(С≈0,5772 ≈ постоянная Эйлера) и асимптотич. представление:
л
(-1)* Г(Ш +ft) Г(т) »
z}f
где Г(п) ≈ гамма-функция.
Наряду с £д_ (z) зшотребляются родственные ей и в> тегральная показательная функция Ei(z}, связанная с E1(z) соотношением E1(z} = =≈£'/(≈2), и ф-ции
Si (z) =
г
n
о
COS S
ф-цию в комплексной плоскости z с разрезом вдоль денствит. оси для г<0 и г>1, прич╦м
li (x ± iO) = li (а:) =F гя, г > 1.
При ^-^-0 li (x)~x In-1 (ж"1).
Интеграл вероятности (интеграл ошибок) Ф (г) можно разложить в степенной ряд:
к-рые паз, интегральным синусом и интегральным косинусом. При
Ф{г)-^=г
это целая ф-ция комплексной переменной z. Асимптотич. представление
справоддивм разложения в степенные ряды:
(-l)A г2
(2)
(3)
10 асимптотпч. представления:
r* ∙ i \ ДТ COS Z т-, t \
Si(z) = -j ≈ ≈^≈ P(s)
cog x
Ф(а)-1≈≈^
2 ГЭС
справедливо при z-э-оо, Re z>0. С интегралом вероятнот сти тесно связаны Френеля интегралы
Я (*) = f ^^ sin
0
при 2>0 имеем
С (г) ± г5(г) = .
Графики функций Ei (x}
на рис.
Лит.: Б е И т м е н Г.
= \ dt COS(n*a/2), J О
li(a:), Si (д:), Ci(x) ириведены
где
Ряд (2) определяет интегральный синус как одиозная-ную аналитич. ф-цию во всей комплексно» плоскости 2, а ряд (3) определяет интегральный косинус как одно-
. Э р д е и и А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., [т. 2], М,, 1974; Н и-к и ф о р о и А. Ф.> Уваров В. Б., Специальные Функции математической физики, 2 изд., М., 1984. Д. Ф. Никифоров.
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ≈ обобщение понятия матрицы на бесконечно-мерный случаи. Матрица Я// отображает векторы яу из векторного пространства X в
векторы yi=K;txi пространства У- Простейший ли-
f\
нейиый И, о. определяется разспстиом y(t}=\ K(tt
i/ J
s)x(s)ds, н отобрангает ф-цпи z(s) из функционального
