|
|
Собств. ф-ции и собств. числа можно расположить в виде последовательностей Кг, Я2, - . ., km. . . ,; (pi, фа» . . ., (р/л, ... в порядке возрастания абс. величины собств. чисел jXfe|^|Xft + 1|. Собств. число Х,Л повторяется в последовательности г/^ раз, последовательность {фш} можно выбрать ортонормиронанпоц. Ядро можно разложить по системе собств. ф-ции {фш} ядра К(х, s) в билинейный ряд
К(Х,
Для. решения неоднородного ур-нип (3) имеются след. теоремы; если А, не совпадает ни с одним собств. числом ядра К, то ур-пие (3) имеет единств, решение <р, к-рое да╦тся ф-лой
<р (*) = Дат) + X
(5)
где Я*≈ собств. число, /^≈ \ /0?)q>ft(s)ds≈ коэф. Фурье
х
ф-ции / относительно ортонормиров. системы собств, ф-ции {фт}; если же К совпадает с одним из собсти. чисел, палр. X≈АК, ранга г^, то ур-ние (3) разрешимо лишь в том случае, если выполняются rk условий:
ь 7/л ==
т. e. если ф-цня / ортогональна собств. ф-циям фт, принадлежащим собств. числу X/,-. В этом случае ур-нне (3) имеет бесконечно много решений, к-рые содержат ГА произвольных постоянных и выражаются ф-лой
Линейные И. у. с ядрами, не являющимися ядрами Фред гол ьма, наз. сингулярными интегральными уравнениями. В этом случае теория Гильберта ≈ Шмидта, вообще говоря, не применима. Однако для нек-рых конкретных классов сингулярных ур-ний уда╦тся получить важные общие ре-зультаты (см., напр., Гилъберта преобразование)∙
И. у., содержащие неизвестную ф-цию нелинейно, пая. нелинейными интегральными уравнениями. Для иек-рых типов нелинейных И. У- разработана достаточно полная теория. Исследовано ветвление решений нелинейных И. у.: найдена зависимость решения от параметров И. у.т получены значения параметров, при к-рых решение разветвляется, найдено число ветвей и представление каждой ветви как ф-ции параметров. Важность И. у. для матем. физики определяется том, что краевые задачи и задачи на собств. значения для дифференц. ур-иий можно свести при помощи Грина функций к И, у.
Лит./ Мусхелишвили Н, И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; Т р и к о и и Ф., Интегральные уравнения, пер, с англ., М,, i960; В л а д и м и-POR В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988; Интегральные уравнения, М.. 1968; В а и н б е р г М, М., Треногий Б. А., Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М., 1969. С. В. Молодцов.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ≈ неск. связанных между собой спец. ф-ций» родственных ф-ций второго рода £(,(z), определяемых с помощью интегралов от элементарных ф-ций (интегральные экспоненты, синус, косинус и логарифм, интегралы вероятности и Френеля). Впервые введены Л. Эйлером (L. Euler) в 1768. В общем виде И. ф. можно получить, рассматривая диф-фсренц. ур-ние пшергеом. типа
о W 0" -И (з) ?'
О,
(1)
<р <*) =
'*-'
т^/» где c0, clt ..., Сг>-1 ≈ произвольные постоянные. Для вырожд. ядер (не обязательно симметричных)
где а (г) и т (г) ≈ полиномы не выше 2-й и 1-й степени. При X=yvn^≈ /IT'≈ n(n≈ l)a"/2, (п=0, 1, ..,) ур-ние (1) имеет решения в виде полиномов п-и степени:
гп
s), ряды (5), (6) содержат лишь ко-
k-г
вечное число членов. Ф-лы (5), (О) наз. формула-м и Ш м и д т а.
Теорию Гильберта≈Шмидта можно распространить с нек-рыми изменениями и на комплекспояначные ф-ции. Аналогом симметричного ядра становится эрмитово ядро Л' О, s) = K* (,?, х)\ Существует также обобщение этой теории на случаи полярного ядра Я (я, s} = L(x, s)\x≈ ≈s|-«, где L(z, s) ≈ непрерывное ядро, сс<1. Краевые задачи, и задачи на собств. значения для эрмитовых дифференц. операторов сводятся к И. у. с симметричными ядрами. Поэтому теория Гильберта ≈ Шмидта важна для квантовой механики, она позволяет исследовать спектры раял. операторов, используется в теории рассеяния, дает возможность найти решения ур-ния IDptb дингера для иск-рых потенциалов.
При решении И. у., ядро к-рых зависит от разности аргументов (И. у. типа св╦ртки), эффективным оказывается применение интегральных преобразований (Фурье или Лапласа} и основанного на них Винера≈Хопфа.
метода. Для И. у. вида ф(х')≈ \ K(x/s}q>(s)$"'lds=
и
удобно применять Меллина преобразование. Во всех указанных случаях И. у. приводится к алгсбраич. ур-нию, а решение фактически сводится к задаче обращения интегрального преобразования.
Для И. у. 1-го рода нет общей теории, однако в нек-рых частных случаях их решение может быть найдено, напр, ур-ния Вольтерры 1-го рода уда╦тся свести к ур-ниям Волътерры 2-го рода.
к-рые ортогональны с весом р (г) на пек-ром интервале (а, Ь). Здесь Вп ≈ нормировочная постоянная, ф-ция р(^) удовлетворяет ур-нию (ар)'^тр. Полиномы уп(2) сводятся к классич, ортогональным полиномам (полиномам Якоби, Лагерра и Эрмита).
Вторым линейно независимым решением ур-ния (1) при К≈ Х└ являются ф-ции 2-го рода
Уп (S} Р (&)ds
S-2
а
(z),
где
s-z
V» («)-
полином степени п ≈ 1.
С ф-циями 2-го рода QQ(z) связаны И. ф. Ф-ция Q0(z) для полиномов Якоби сводится к неполной бета-функции Bz(p, q], для полиномов Лагерра ≈ к неполной г а м м а - ф у н к ц и и Г (a, s), для полиномов Эрмнта ≈ к интегралу вероятности Ф (z).
Ш
3
S
I
ш
i
157
