|
|
Ш
О
CL Ш
где С ≈ контур интегрирования в комплексной плоскости, К(х, i) ≈ ядро И. п., /(О и Р(х) ≈ прообразуемая п трансформированная ф-ции. Нормы прообразуемой и трансформированной ф-ций связаны равенством Пар севаля (см. О р то нормированная система векторов]. Ф-лы, восстанавливающие ф-цию / (t) по заданно!! F(x), наз. ф-лами обращения И. п. Наиб, употребительны и изучены интегральные преобразования спец. вида (Лапласа преобразование, Меллика преобразование, Гильберта преобразование, Фурье преобразование и др.), а также преобразования св╦ртки с ядром K(xt () = A'(.r≈ ≈t). В многомерных И. п, фигурируют ф-ции векторного аргумента и кратный интеграл по связной области в пространстве аргументов (см. также Радона преобразование). Ути И- п, применяют в разл. задачах теоретич. п матем. физики, при решении линейных диффсренц, ур-шш, нск-рых типов интегральных ур-ний.
Лит.: Д и т к и н В. А,, Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, 2 изд., М., 1974; Б е и т м е п Г., Э р Д е и и А,, Таблицы интт-гралшых преобразований, пер, с англ., т. 1≈2, М., i960≈7(1; Владимиров В, ('., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд.т М., 1079. С. В. Молодцов.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ≈ ур-ние, содержащее неизвестную ф-циш под знаком интеграла. Их принято разделять па две большие группы: линейные и нелинейные И. у. Лпнойным И. у. наз, ур-ние вида
ственной функцией ядра К или И. у., принадлежащей собств. числу X. Если К не является собств. значением ядра К, то его наз. правильным (регулярным) значением (числом) ядра К. Если ядро К (х, s] обращается в нуль при z<s (т. н. ядро Вольтерры), то ур-ния (2), (3) перепитпутся в виде
К(х,
Ф
л
А' (А л') ф (s) ds ≈ f (х)
и на;}. Вольтерри уравнениями 1-го и 2-го рода соответственно.
И. у. Фредгольма 2-го рода
ь
р
А (х) ф (х] ≈ \ К (х1
*J
(s) ds =
(1)
D
где Л, К, / ≈ заданные ф-ции, ф ≈ неизвестная ф-ция, D ≈ область евклидова пространства, Ф-ция К наа. ядром И. у., ф-ция / ≈ свободным членом. Интегрирование Б (1) производится по всему объ╦му области D, ds ≈ элемент объема. Если свободный член /≈0, то ур-ние (1) паз. однородным, в противном случае ≈ неоднородным. Кроме того, И. у. различают по типу. Если А (.г)=0 в области D, то ур-ние (1) наз. И. у. 1-го рода; если А (х)=^0 для всех точек области Л,≈ И. у. 2-го рода; если А (х} обращается в нуль на век-ром подмножестве области D,≈ И. у. 3-го рода.
Аналогично записывают систему линейных И. у., когда А, К ≈ матрицы-функции, а / и ф ≈ вектор-функции. И, у, появились в нач. 19 в., общая теория построена в кон. 19 ≈ нач. 20 вв. в работах В. Вольтерры (V. Volterra), Э. Фредгольма (Е. Fredholm), Д. Гиль-борта (D. Hilberl) и Э. Шмидта (Е. SchmicU}.
В одномерном случае на отрезке [я, Ь] И. у. 1-го и 2-го рода записывают в виде
Ь
V
<∙ ф (х}-}- К \ К (х, s} ф (s) ds~f(x).
(2)
(3)
где К(х, s)=K*($i х} ≈ эрмитово сопряженное ядро, *означает комплексное сопряженно, наз. союзным к ур-нию (3). Для ур-ний Фредгольма с непрерывным ядром доказана совокупность теорем, дающих общие сведения о решениях. Из этих теорем следует, что множество еобств. значений непрерывного ядра не бодсо чем сч╦тно и не имеет конечных предельных точек. (Непрерывные ядра Вольтерры вообще не имеют собств, чисел.) Кроме того, каждому собств. числу К соответствует конечное число (наз, к.р атностью собств. значения) линейно независимых собств. ф-ций.
В терминах собств. чисел и собств. ф-ций результаты Фредгольма формулируют в след, форме. Пусть А^ и rfc^l (fc=l, 2, ...) ≈ собств. числа и соответств. этим собств. числам кратности. Если Д^Х^, то И, у. (3) и (4) однозначно разрешимы при любых свободных членах. Если А≈ Я*, то однородные И. у., соответствующие ур-иимм (3) и (4), имеют одинаковое (коночное) число г^ линейно независимых решений: собств. ф-ций ф^, i» ∙∙∙> <Р*+'-А_1Ядра Я и собств. ф-ций фл, i|jft + b ...t
r.-j ядра К, соответствующих собств, значениям
Я^ и Л.. Если Я=ЯЛ, то для разрешимости ур-ния (3) необходимо и достаточно, чтобы (/, ijjft + /-)=0, г≈О, 1, . . ., гд≈ 1. При достаточно малых А, решение ур-ния Фредгольма можио найти методом послсдоват. приближений, решение записывают в виде ряда Н о и м а-ii а.
Результаты Фредгольма распространяются на И. у. с полярным ядром К(х, s)^L (x, s}\x≈s -«, г&сЬ(х, s)~-непрерывное ядро, а<1.
Ядро К (х, s) И. у. наз. вырожденным, если
а
Число А, наз. параметром И. у. Налагая дополнит, ограничения на известные ф-ции И. у.т и частности на ядро А', выделяют класс Фредголъма уравнений. Напр., к ур-ииям Фредгольма приводит свойство квадратично]! интегрируемости ядра, свободного члена и искомой Ь Ь ь
ф-ции, т.е. \ \ \К (х,
, \ \f(z)\2dx < оо,
а а
is
\ I ф(^)
. Комплексное значение параметра Л,
а
при к-ром ур-нпе (3) с нулевым свободным членом (/~0)
aiit'UT реглелис, ]шз. х а р а к т о р и с т и ч е с к и м
млн с о б с т i; е н к ы м ч и с л о м (значение м)
т ж ядра К- или И. у. Ненулевое решение ур-тшя (3) при
56 /≥0 наз. характеристической или с о О-
оно прсдставимо в ниде суммы: К (лг, s)= У ап(^}Ь└(,?).
В этом случае И. у, Фредгольма 2-го рода сводится к системе линейных алгебраич. ур-шш для т неизвестных.
Для И. у. с веществ, симметричным ядром K(z, $) ≈ ≈ К (s, х) справедлива теория Гильберта ≈∙ Шмидта. При /≈0 ур-ние (3) имеет, по крайне» мере, одно собств. число, собств. числа действительны; каждая пара собств. ф-ций ф: (х) и Ф2и-), соответствующих раял. собств. числам Х^Х,, ортогональна, т, о. b
ft (я)Ф2(я}Жс=0; ввиду действительности ядра можно
выбирать и денствит. собств, ф-ции; в каждом конечном интервале оси X находится конечное число собств. чисел, каждому собств. числу Х^ соответствует конечное число г^ линейно независимых собств. ф-ций. Множество всех собств. чисел ур-ния (3) mu. спектром этого ур-ния.
