1tom - 0672.htm
74
и
Ul
голоморфности, если существует ф-ция, голоморфная в О и аналитически непродолжимая ни в какую другую большую область (в т. ч. и неоднолистную). Свойство области быть областью голоморфности есть локальное свойство е╦ границы, обобщающее понятие выпуклости. Если D не является областью голоморфности, то все ф-ции, голоморфные в D, одноврем. продолжаются в нек-руго большую область. Вопрос об отыскании такой наибольшей области (оболочки голоморфности), как и в случае аналитич, продолжения заданной функции, приводит к многолистным областям наложения над С" (многообразиям Штейна).
Др. пример неожиданного «принудительного» продолжения многомерных А. ф. да╦т теорема об острие клина (получена Н, Н. Боголюбовым в 1956), играющая важную роль в теории дисперсионных соотношений и аксиоматич. квантовой теории поля. По этой теореме две ф-ции, аналитические каждая в своей спец. вида трубчатой области и совпадающие на л -мерном чисто вещественном открытом множестве соприкосновения этих областей (т. е. на множестве вдвое меньшей размерности), аналитически продолжаются в комплексную окрестность G этого множества и представляют собой единую А. ф. Вид области G можно найти с помощью теоремы о С -выпуклой оболочке (получена В, С, Владимировым в 1964),
Лит.: Привалов И. И,, Введение в теорию функций комплексного переменного, 13 изд., М., 1984; Л а в р е н г ь-е и М. А., Ш а б а т В. В., Методы теории функций комплексного переменного, 4 над., М., 1973; Евграфов М. A.t Аналитический функции, 2 изд., М., 1968; Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексны* переменных, М-, 1964; Ша б а т Б. В.т Введение в комплексный анэ.миз, ч. 1 ≈ 2. М., 1076. В. И. Завьялов.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ ≈ одно из возможных комплексных представлений w (t) сигнала (колебания), описываемого денствит. ф-циой u (t)', является сстеств. обобщением представления, используемого для моно-хроматнч. сигналов. Напр., если сигнал и (t) пред-
С » ставлен в виде интеграла Фурье и (t) = \\ doxp (to)X
J -00
Xcxp(±ift>0, прич╦м ф( ≈ со) ≈ ф*((о) (где знак * означает комплексное сопряжение), то
w
= и (t) -)- iv {*) = 2
(ю) охр ( ±
(1)
(2)
80
Ф-ла (1) позволяет получить аналитич. продолжение ф-ции и (t) в верхнюю (нижнюю) полуплоскость комплексной переменной t, с чем и связано назв. А. с. Понятие А. с, введено Д. Табором (D. Gabor), в 1946, оно широко используется в теории колебаний н воли, волновой и квантовой оптике, теории связи и др.
Введ╦нные таким способом ф-ции u(t] и v(t) связаны между собой Гильберта преобразованиями (или дисперсионными соотношениями}'.
(v (t) I nlP010 df ≈ U (t) j ~~ "я" J - OD 7^ \V (Т)
= т _L f" JU. JW(*+T)-
л Jo t \v (t -\\-t)~
(здесь Р ≈ символ главного значения интеграла). Отсюда следует, что для нахождения v(t) нужно знать не только предшествующие, но и последующие по времени значения м(т). Соотношения (2) можно рассматривать как определение А. с. w(t) = u(t)^iv(t). Каждому способу введения и\\ одним из к-рых является А. с., соответствует свой способ определения (и измерения) ам-илитуды А = |ЕГ|, фазы S=Arg w и угловой частоты w≈ = dS/dt сигнала u(t}. Если спектр сигнала сосредоточен в относительно узком интервале частот (квазимонохро-матич. сигнал), то амплитуда и фаза мало меняются за время, соответствующее периоду осн. частоты. Для комплексного представления, построенного при помощи А. с., величина такого изменения амплитуды и фазы при определ. условиях оказывается минимальной, Ес-теств. образом появляется А. с. в квантовой оптике, что выделяет его среди др. комплексных представлений.
Лит,: Gabor D., Theory of comraunicotions, «J. IEE», L., 1946, V. 93, r>t 3, p. 429; Б о р н М., В о л ь ф Э., Основы оптики, 2 *зд., пер. с англ., Мт, 1373, § 10.2; К л а у-П е р Д ж., С у д а р пт а н Э., Основы квантовой оптики, пер, с англ., М., 1970; В а к м а н Д. Е,, В а и н-штейн Л. А., Амплитуда, фаза, частота ≈ основные понятия теории колебаний, «УФН», 1977, т. 123, в. 4.
В, И. Татарский.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ≈ расширение области определения аналитич. ф-ции с сохранением е╦ аналитичности. А, и,≈ осн. метод доказательства дисперсионных соотношений', используется в аксиоматической квантовой теории поля и др, областях физики.
Пусть аналитич. ф-ция определена степенным рядом в точке г0 и тем самым задана первоначально в нек-ром круге. Если разложить ф-цию в ряд в окрестности др. точки Zj, то круг сходимости нового ряда может оказаться частично за пределами исходного круга. Тогда эти два ряда определяют единую ф-цию, аналитическую в объединении двух кругов, т. с, в области больше]!, чем первоначальная. А. п. можно строить, повторяя этот процесс, каждый раз расширяя область аналитичности ф-ции. Не исключено, однако, что на к.-л. этапе мы вновь верн╦мся к точкам, где ф-ция уже была определена ранее, напр, к точкам исходного круга. Совпадения в этой области исходной ф-ции с ф-цией, полученной в результате такого А. п., может и не быть. Т. о. возникают многозначные аналитич. ф-ции, к-рые приводят к понятиям многолистных областей, римапо-вых поверхностей и др.
Пусть DI и £>2 ≈ области расширенной комплексной
плоскости С (см. Аналитическая функция), а /^ и /2 ≈ ф-ции, аналитические соответственно в Ог и D2. Если Д и /2 совпадают в связной части Д пересечения областей £»! и D2, то говорят, что пары (£>ь Д) и (D2, /2) являются непосредственным А. п. друг друга через область Д. При этом ф-ция /3 однозначно определяется ф-цией /1т и наоборот. Ф-ции Д и /2 не обязаны совпадать в др. связных частях пересечения D± и Dz. Если в к.-л. части такого совпадения пет, то е╦ удобно «расщепить» на два листа, задавая на одном из них ф-цию, равную /г, на другом ≈ /2. Так появляется простейшая неоднолистная область и однозначная аналитич. ф-ция в ней (но неоднозначная в объединении Ог и £>2).
Критерий однозначности А. п. да╦т теорема о м о н о д р о м и и. Пусть ф-ция f(z) задана и аналитпч-на в пек-рой окрестности точки s0, принадлежащей односвязной области D. Если f(z) аналитически продолжается вдоль любого пути, выходящего из гц и лежащего в D, то в результате А, п. получается однозначная аналитич. ф-ция. Две лары (1>, /) и (G, #), где £>т
G ≈ области расширенной комплексной плоскости С, а /, g ≈ ф-ции, аналитические соответственно в D и fi, наз. А, п. друг друга, если их можно «соединить» конечным числом пар (D/, //), i=l, ..., и, (Dllf1) ≈ (D, /), Фп> /«)≈ (G, я), таких, что каждая последующая пара является непосредственным А. п. предыдущей, Макс, совокупность пар, каждая из к-рых является А. п. любой другой, зада╦т ф-цию, аналитическую (и однозначную) на соответствующей римановой иоверхпости. Пример. Пусть /(г) обладает в плоскости С единственной особой точкой я0^0, являющейся точкой ветвления тг-го порядка (напр., /(z)= j/ z\\ . Е╦ риманова
поверхность представляет собой п экземпляров плоскости С с разрезом вдоль вещественной положит, полуоси (листов) Z>/, t≈ lt ..., п. При этом точки верх, берега каждого последующего листа отождествляются с соответствующими точками ниж. берега предыдущего листа. Точки ниж. берега первого листа отождествляются с соответствующими точками верх, берега и-го листа, Т. о., каждый полный обход вокруг начала координат переводит точку на след, лист. При и-кратном обходе она возвращается на первонач, лист.
Эфф. инструментом А. п. служит т.н. принцип симметрии. Пусть ф-ция f(z) аналитична в области D, содержащей на своей границе отрезок веществ.
")
}
