1tom - 0671.htm
73
до его границы, на к-|юн со модуль не превосходит постоянной М. Если, крпм'е того. гР 1ц|/(з)|-*-0 при
СО
то
во всм секторе. Теоремы типа Фрагмена ≈ Линдел╦фа существенно используются в теории рассеяния элементарных частиц высокой ипер-гии, прнкодя там к асимптотич. соотношениям между сечениями рассеянии "частиц и античастиц (Ппмгран-чука теорема и др.).
Понятие аналитичности имеет смысл также и на мпо-жестпах более сложных, чем области комплексной плоскости С, но локально устроенных как последние. Напр., добавляя к С бесконечно удал╦нную точку,
получают расширенную комплексную плоскость С. Комплексная структура в окрестности бесконечно удал╦нной точки зада╦тся отображением 2 ≈>∙ з"1, переводящим е╦ н начало координат, Ф-ция /(z) апалитнчна в окрестности бесконечно удал╦нной точки, если /(г"1)
аналитична в окрестности точки з≈0. Для областей п С справедливо все сказанное выше. В то же время, если
/(г) аналитична но всей С, то она постоянна (т е о-р е м а Л и у в и л л я).
Особые точки. Точки, в к-рых нарушается аналитичность ф-ции /(г), наз. е╦ особыми точками. Если /(г) аналитична во нссх точках пок-роп окрестности точки гй, кроме, быть может, е╦ самой, то zn наз, изолиров. особой точкой. В окрестности изолиров. особой точки /(г) разлагается в абсолютно сходящийся ряд Лорана, содержащий, быть может, отрицат, степени (z≈s()):
Различают три типа изолиров. особых точек; устранимую особую точку, полюс и существенно особую точку, Точка ZQ наз. у с т р а н н м о к, если / (z) ограничена в нек-рой е╦ окрестности. Полагая / (z0) ≈ lim / (z)
г-*-г,
(этот предел существует), получают ф-цию, аналитическую и в s0. Изолиров. особая точка sfl паз. полю-
сом, если lim |/(z)|≈ °о. В этом случае лишь ко-
г-*-г└
печное число членов лораиовского разложения /(/-) в z0 с отрицат. степенями (s ≈ з0) отлично от нуля. Коэф. с_! наз. вычетом функции /(г) в точки *0 и обозначается res, /(z). Если бесконечное число чле-
zn ' v '
нов ряда Лорана /(г) в точке s0 с отрицат. показателями п отлично от нуля, то z0 паз. существенно особой т о ч к о и. Существенно особые точки характеризуются тем, что для любого комплексного числа а существует последовательность sft, сходящаяся к z
при k ≈ ». со, такая, что li
m
Пусть 7 ≈ замкнутый контур, лежащий в области аналитичности ф-ции / (z) и содержащий внутри себя лишь ее полюсы (их обязательно конечное число), рас-
положенные в точках
1 zfl I
тогда
s
\n
res, 1(z].
Эта формула является основой теории вычетов и служит эфф. инструментом для вычисления оиредел. интегралов. Ф-ция, аналитическая во всей комплексной плоскости, за исключением, быть может, полюсов, наз. м е р о м о р ф н о и. Ф-ция, не имеющая в С особых точек, наз, цело п.
Многозначные функции. Всякая А. ф. однозначно восстанавливается но своим значениям ц любом сколь угодно малом открытом подмножестве области аналитичности. Более тогп если дне аналитические u D ф-ции совпадают в счетном числе точек из D, имеющих хотя бы одну предельную точку, также принадлежащую D, то эти ф-ции совпадают и всюду в D. Типичной является ситуация, когда А. ф. первоначально задана в нек-рой области D, но продолжается до А. ф. в существенно большей области. Т. о.т возникает задача об аналитическом продолжении, заданной А. ф. до А. ф. в макси-
малыю возможной области. Чтобы :>та задачи была разрешима в классе однозначных ф-ций, приходится расширить понятие области, допустив возможность с╦ самоналожстш. Это приводит к понятию неоднолистных областей, в частности римановой подерхногти данной А. ф. Пусть /(z) ≈ А. ф. в области D п у ≈ нек-рып путь, соединяющий точку зп из D с точкой z' из расширенной комплексной плоскости. Говорят, что / (z) аналитически продолжается вдоль у, если существует конечное число кругов V^, k=-0, 1, ..., N с центрами, последонателыю расположенными на у (z^----z), н ф-ции /й(з) аналитические в V^, такие, что fk(s)~ -~/fr_i(~) в пересечении V^ и V^_i- Если /(z) аналитически продолжается вдоль днух путей у^ н -у2 с началом н zn и концом в z\\ то в результате этих про/солжоний в окрестности точки z' могут получиться, вообще говоря, разные А. ф. Риманову поверхность ф-цни /(г), m'fmo-пачальпо заданной n D, можно понимать как множество всех путей, к рые исходит из нск-poii тпчкл z0, лежащей в Z). м вдоль к-рых /(г) аналитически продолжима. IIрл этом два пути отождествляются, если они заканчиваются н одной н той же тпчтсо и приводят к одинаковым А. ф. в ее окрестности. Тем самым всякая аналитическая в D ф-ция /(z) определяет пек-рую ф-циго, аналитическую на своей римаиовон поверхности, - н о л-н у ю А. ф.
Пусть f(z] аналнтична в нек-poii области D и аналитически продолжается (вообще говоря, неоднозначно) вдоль любого пути, не содержащего фпксиров. точку s^ (такая точка наз. точкой в е т и л е н и я). Если провести разрез плоскости С, соединяющий точку г(| с бесконечно удаленной точкой, то можно получить конечное или сч╦тное число ф-ций, аналитичных в плоскости С с разрезом, получающихся из / (z) аналптич, продолжением вдоль путей, огибающих г,, заданное число раз. Риманову поверхность ф-ции /(г) можно представить себе как конечное или сч╦тное число экземпляров плоскостей С с разрезом (листов), склеенных вдоль берегов разрезов таким образом, что каждый оборот вокруг s0 переводит точку на новый лист.
А. ф., заданная в области £>, наз. одно л л с т-н о и в /), если она осуществляет взаимно однозначное отображение D на е╦ образ D* ≈/(D), к-рып также является областью. Всякая однолистная н D А, ф, зада╦т конформное отображение D на D* в том смысле, что оно сохраняет углы между кривыми. Обратно, всякое (гладкое) конформное взаимно однозначное отображение D на Л*, сохраняющее углы между кривыми (по величине н знаку), порождается нек-рой однолистной и D А. ф., такой, что D* ≈ f (D). Области D и D* в DTOM случае наз, конформно изоморфными. Согласно теореме Р и-м а н а, любые две односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки, конформно изоморфны.
Функции многих переменных. Теория А. ф- ми. комплексных переменных по сравнению с одномерной теориям обладает новыми слсцифич. чертами, Ф-цпя f(z], z≈(zlT ..., zn) наз. аналитической (голоморфной) в области D «-мерного комплексного пространства С", есчли и окрестности каждой е╦ точки zn=(znl, ..., z0.t) она представляется в виде суммы абсолютно сходящегося степенного ряда:
«да х~ч да . , ь. , /; Г1
По теореме Гартогса f(z) аналитична в D тогда и только тогда, когда она аналитична по каждому церемонному в отдельности при фиксированных остальных в соответствующих сечениях области D.
Важное отличие многомерной теории от одномерной состоит в существовании таких областей, что голоморфные в них ф-ции обязательно аналитически продолжаются в существенно большие области, В частности, при п^2 не существует А. ф. с изолиров. особенностями. Естсств. областями определения А. ф. служат т. п. области голоморфности. Область D в С" наз, областью
С
<
79
")
}
