|
|
ас и
ш Г
с;
х
существует , и притом только одно, решение задачи (6), аналогичное в окрестности точки г0.
Если аналитически продолжить это решение, то оно будет иметь ОТ. Одно из осн. различий между линейными и нелинейными ур-ниями состоит и том, что решения линейного ур-ния пметот только неподвижные ОТ (они совпадают с ОТ коэфф. и правой части), решения нелинейного ур-ния могут иметь иные (п о д-в и ж н ы с) ОТ. Пример: ур-ние w' ≈ irz, решение Hj ≈ ≈ (z ≈ С)"1 имеет полюс в точке z = C, С любое. Классификация ОТ следующая. 1) Алгебраическая ОТ. Вблизи точки z ≈ a решение прсдстанимо сходящимся рядом по целым или дробным степеням
j (z≈ a}ll<}, где р, q≈ целые
≈ a-.
числа, 7^1. 2) Трансцендентная ОТ. Это такая нса-чгсбраич. ОТ, что существует lim w (2). Пример:
w -≈ In (2 ≈ С1). 3) С у щ е с т в е н н о особая точка.
Продел lim w (z) не существует. Ур-ние Р (z, и?, ц/) = 0
не имеет подвижных существенно особых точек, если Р ≈ полином от if% w1 с аналитическими по z коэфф. Рассмотрим автономную систему из п ур-ний
вектор-функция / (w) аналитична в окрестности точки н? = и и /(UJ = 0. Пусть Xi, ..,, Хл≈собств. значения матрицы Якоби f (Q) = dfi/dWj\\w≈Qi т.е. матрицы ли-нсарилов. системы. Они наз, резонансными, осли
(В. Riemann) в 19 в. Теория А, ф. многих переменных продолжает интенсивно развиваться.
Одна из причин широкого применения А. ф. в физике связана с физ. требованиями типа причинности. Так, в квантовой теории ноля аналитичность Уайтмсна функций н амплитуд рассеяния вытекает из исходных постулатов теории. Метод дисперсионных соотношений целиком базируется на теории А. ф., ур-ния Янга ≈ Миллс-а можно записать как условия аналитичности нок-рых ф-ций. Большое число приложений А. ф. связано также с двумерными задачами электростатики, гидродинамики и т, д., где используются, напр., конформные отображения.
Основные свойства. Если и i\\ v ≈ вещественная к мнимая части ф-ции f(z)≈-f(x≈iy}≈u(x, y)-\\-iv(x. г/), то требование существования комплексной производной эквивалентно т. н. ур-ниям Коши ≈ Римана
би (х, у) _ dv{x, у)^ ди(х^ у) __ _ Jb(x, f/)
дх ~ ду ' ди ~" дх '
из к-рых следует, что и и v являются гармонич. ф-циями. Две ф-ции, гармонические в области D и удовлетворяющие там ур-ниям Коши ≈ Римана, наз. взаимно сопряж╦нными. Любая производная f(n}(z) А. ф. f{z) есть также А. ф. В окрестности каждой точки z из области D А. ф. можно разложить в абсолютно сходящийся ряд Тейлора:
-У"
∙"" =
1'Де
&
числа,
нск-ром s, где nij ^s 0 ≈ целые и нсрезонансными в иро-
Радиус сходимости этого ряда Л^ (lira ?/ с,,)'1 не мснь
78
тивном случае.
Теорема Пуанкаре. Пусть ?11т ..., Хл нерезонансны и лежат по одну сторону от нек-рой прямой в комплексной плоскости А, проходящей через начало координат. Тогда с помощью аналитич. замены переменных w ≈ g (»}, g (0}~0 система (7) приводится
Т р _
к виду и/≈-Луиу, / = 1, ...» п в нек-рой окрестности точки н?≈0.
Лит.,- А и IL с Э. Л., Обыкновенный дифференциальные уравнения, пер. с англ., Хйр., 1939; Г о л у и е и В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, '2 изд., М.≈ Л., 1У51); Коддингтон Э., Л с п и н с о н Н., Теория обыкновенных дифференциальных урывпоний, пер, с англ., М., 1958; М о р с Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т, 1, М., 1Я58; А р-нольд В. И., Дополнительные глалы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М,, 197й; Ф о ц о р ю н М. В., Асимптотические методы для линейных обыкновенных диффе-ренци.гпмзыу уравнений, 1\\J., 198H. М. В. Фе&орюк. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (голоморфная функция)≈ функция / (z) комплексной переменной z = x--iy4 к-рая дифференцируема в след, смысле: и каждой точке s0 нек-роп области D комплексном плоскости С существует производная /' (г0) ≈ lim Шго ^Аг)-/(гп)1 ^ иричум
иррдел HR зависит от способа стремления As к нулю. Рассматриваются А. ф. мн. комплексных переменных. Л. ф. широко распространены н математике и е╦ физ. приложениях. Ряд задач классич. веществ, анализа решается переходом к комплексным переменным. Вес элементарные п спец. ф-ции аналитичны в тех или иных областях, прич╦м выход н комплексную плоскость обнаруживает глубокие связи между этими ф-циями. Теория А. ф. прямо связана с теорией двумерного Лапласа уравнения п, следовательно, с теорией гармонических функций. Наяшой характеристикой А. ф. являются ео особенности, т. е. точки комплексной плоскости, в к-рых нарушается аналитичность. Классификация особенностей А. ф. позволяет но многом охарактеризовать и свойства ф-цип и целом. Ф-ции комплексной переменной использонались уже в 18 в., в частности в работах Л, Эйлера (L. Eulcr). Окончательно теория А. ф. одной переменной оформилась в работах О. Коши (А. Сан-chy), К. Псйерггттгнкч'а (К. WHprstrass) н Б.Римапа
о радиуса любого круга с центром в я└, содержащегося в D. Обратно, если в каждой точке s0 из D ф-цин /(г) лредставима абсолютно сходящимся степенным рядом, то /(z) аполитична в Z), так ^JTO разложимость в степенной ряд можно считать др. эквивалентным определением А. ф.
Пример: Для распростран╦нных элементарных ф-ций ег, sin z и cos z имеют место след, разложения в точке
cos z ≈
из к-рых, в частности, вытекает ф-ла Эйлера
:∙∙[- г sin 2.
Специфичны и интегральные св-ва А. ф. Если замкнутый контур Y целиком лежит в области аналитичности D
ф-ции / (z) и там его можно стянуть в точку, то интеграл от/(г) по этому контуру равен нулю. Это свойство также
вполне характеризует А. ф,: если \\ f(z}dz= 0 для нек-рой непрерывной в D ф-ции f(z) для любого контура у с перечисленными выше свойствами, то /(г) аналитична в D, Для А. ф. выполняется важная ф-ла Коши
f (- \ ≈ ] '12(""- 2т
справедливая для любой точки г0, к-рая лежит п области, ограниченной контуром у, прич╦м направление обхода контура должно быть таким, чтобы область оставалась слева.
Для А. ф. имеет место принцип максимума модуля, согласно к-рому модуль А. ф., отличной от постоянной, не может достигать своего макс, значения ни н какой внутр. точке области аналитичности D. Напр., если А. ф. задана в единичном шаре { sj<l}, по модулю не превосходит там 1 и/(0)-^0, то \f(z}\\ < г при |2|<1 (лемма Шварца). Применительно к областям спец. вида принцип максимума приводит к следующей теореме Ф р а г м е и а ≈ Л н н д с л ╦ ф а. Пусть f(z] анали-тпчна в секторе farg z- -ф0'<л/2р м непрерывна вплоть
")
}
