1tom - 0643.htm
Ш
д
е
X
j-цию ф, можно получить новую форму (рш, к-рую ференц. выражения наз. нелинейными. Для диф-
также можно интегрировать. Поэтому форму о> можно ференц. выражений с частными производными независи-
исиолъзовать как меру, чтобы интегрировать по этой мые переменные зс≈х1у ..., хт пробегают область в Rm,
мере любые ф-ции на многообразии. В частности, на а остальными аргументами F являются ф-ция и (;к)
римановом ориентируемом многообразии можно исполь- и $$ частные производные D(*u=d('t'l~*'"'+fx'fn/dxai .>dxrim
зевать форму &=Y'g dx^f\\.../\\dxn (риманову меру). Квазилинейность цифференц. выражения 1 с част-
Интегрирование форм является мощным инструмен- пыми производными означает линейность F по всем
томв приложениях гл.обр. потому, что для интег- производным макс, порядка, а его линейность - линей-
радов от форм справедлива теорема, обобщающая пОсть ^ по всввд производным и самой ф-цип а. Вся эта
Стокса формулу из обычного векторного анализа в RA. терминология автоматически переносится на Д. о.
Б общем случае теорема Стокса выражается Помимо диффсренц. выражения Д. о. определяется
ф-лой f dco = V со, где через дМ обозначена г р а- классом ф-ций, в к-ром он действует, С матем. точки
j. J зрения раал, классам ф-ций (с разными свойствами
ни ц а М. Для многообразия Ы размерности п ранг гладкости и разными граничными условиями) отвеча-
формы со равен п-1 и совпадает с размерностью мно- ют Разл- Д- °- Это различие имеет и физ. интерпре-
гообразия дМ. Ориентация многообразия дМ в теоре- та^И11?' * тт - ^
мо Стокса согласуется с ориентацией многообразия М. ? большинстве физ. примеров Д. о, линейны. Важ-
Для этого в М (в окрестности нек-рой граничной пеипше из них - операторы квашговои механики.
точки его) выбирается такая система координат Ilanp., операторы импульса р}; орбитального момента
{г1, ..., а:"-1, хп], в к-рой граница дМ определяется Mj4 гамильтониан И для волновых функций ф{#/) в
условием я" = 0т а внутр. точкам многообразия М координатном представлении реализуются как Д. о.:
соответствуют значения х» > 0. Тогда совокупность - = _&д / д л _ _^ , д / д _ & / д } £=
чисел {ж1, ..., хп~1} мошот служить системой коор- ' ,t?,0 ._ ' ,,. 2\ , т,- / , / ∙ Г,
динат на дМ. = ≈ (&a'2m)2 (&ldqt)+V (q) (здесь/, k, I ≈ циклич. пере-
Частнымп случаями сформулиров. теоремы являются становки индексов 1, 2, 3, т ≈ масса, V - лотенц. эпер-
только обычная ф-ла^ Стокса, пои ф-ла 1 аусса≈ гия частиы. Фиа. инте
не только оычная -ла^ токса, пои -ла аусса≈ гия частицы). Фиа. интерпретация их собстн, значений
Остроградского, и целый ряд других интегр. соотпо- требуеТ) чтобы эти д. 0, были самосопряж╦нными опе-
шонии, применяемых в физике, в частности в теории раторами. Но даже в тривиальной физ. ситуации одно-
ПОЛЯр мерного свободного движения на полуоси 0^о<оо га-
lia примере электродинамики видно, как естественно .? /£«/о , -«,,└ ^ -
выражаются физ. законы в терминах внеш. форм и милътониан //=- (╧!2т) d*idq* будет самосопряжен-
интегралов от них: 4-вектор тока /, (* = 0, 1, 2, 3) ным Д. о. лишь для волновых ф-ции ib(9)t удовлетвори-
Определяет 1 -форму I--Ifdxi, а тензор напряж╦н- югцих граничпым условиям TJJ (0)+яф(0) = 0 с веществ, а.
-,
ности эл.-магн поля ^/-2-форму F = (1/2JF// dxi*dxJ Так^е Ф^≥ можно представить как суперпозицию в пространстве^времени (afi^cl). В этих терминах exp(-iftg)+a exp (iug) приходящей и уходящей плос-первая пара ур-ний Максвелла (к-рая в обычных ких волн с импульсом ft, где а= (Й- а)/(Й-Ьа) описывает 4-мерных обозначениях записывается как *\\-/А+ изменение фазы при отражении в точке д=0. Т. о., раз-∙ +^- о) принимает вид d^ = 0, а втЬрая пые граничные условия описывают разные законы от-
,
выражается через дуальные формы Рвения и, следовательно, разные физ ситуации
в виде й*^ = 4яс-1*7. С помощью теоремы Стокса С помощью дифферепц. выражении формулируют и
из этих ур-ний легко выводятся соотношения (интегр. Дифференц. ур-ния. Поэтому вопросы существования,
? г г единственности, зависимости от нач. данных для реше-
форма ур-ний Максвелла) \ F^O, V *F = bm-1 \ */, ний дифференц. ур-ний естественно ставятся на языке
QV ov v свойств Д. о. как вопросы об области определения, яд-
где V ≈ любая 3-мерная гиперповерхность в 4-мерном ре, непрерывности обратного оператора. Напр., тео-
пространстве-времени. Напр., если V ≈ чисто прост- ремы существования решений доказывают с помощью
ранств. объ╦м (т. е. область на гиперплоскости пост, метода сжатых отображений ≈ классич. метода теории
времени), то первое соотношение означает обращение операторов. Существенную информацию дают исслсдо-
в ноль магн. потока через любую замкнутую поверх- вание спектра Д. о. и свойств его резольвенты, разложе-
ность, а второе утверждает, что поток электрич. поля пне по его собств. ф-циям, изучение возмущений Д. о.
через замкнутую поверхность пропорционален полному Наиб, развита теория линейных Д. о., к-рые вообще
заряду, находящемуся внутри не╦. являются важнейшим примером неограниченных опс-
Лит.: Арнольд В. И., Математические методы клас- раторов (см. Линейный оператор]. Б дифференц. гсо-
н ГЛ* оМГ£И п.', 2фИоДме^ко9А:тД/ СоРврс≥наяБ'гсо: ^Р≥ ^ ╧∙ приложениях особую роль играет класс
иетрин. Методы и приложения, 2 изд., М.т 1985; 3 о р и ч В, А., Д- о., не меняющихся или меняющихся спец. образом
Математический анализ, ч. 1≈2, м., 1981≈84; Шутц Б., при действии на дифференц. выражение преобразова-
Гсоиетрические методы математической физики^ п^р.^нгл., ний из цск.рой группы (см., напр., Ковариантпая про-
ДЙФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ≈ оператор^ изводпая, Лапласа оператор). Д. о. служат для описа-
аадаиный дифференц. выражением и действующий в ния структуры ряда матем. объектов. Напр., обобщ╦н^
пространстве ф-ций. Дифференц. выражение обобщает НУ"> Функцию медленного роста можно представить
понятие производной. Обыкновенное дифференц. вы- как результат действия Д. о. на непрерывную ф-цию
ражспие строится след, образом. Пусть F(x, i/0, i/L, , . ., степенного роста.
и└) ≈ вещественная ф-ция (п+2) переменных, опре- Лит.: На и м ар к М. А. Линейные дифференциальные
у'1' .. " └ л .^^ операторы, 2 изд., М,. 19Ь9; Кермандер Л., Линейные
деленная для значении Своих аргументов в прямоу! оль- дифференциальные операторы с частными производными, пер.
ной области Д≈ /Х/0Х /tX ..>XJtl, где /, /^ ≈ отрезки с англ., М.,19Йо;Рихтмайер Р., Принципы современной
числовой оси (возможно, уходящие на со). Отвечающее математической физики, пер. с англ., м., 1982. в. п. Павлов,
ей диффоропц. выражение F (х, и, duldx, . . ., d^uidx^} ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩАЯ ЦЕПЬ ≈ устройство» пред-
определено на ф-циях и (х) с необходимыми свойствами назначенное для дифференцировагшя по времени элек-
дифференцируемости в Д: для х из / все dku/dx** трич. сигналов. Выходная реакция Д. Ц- "ьых (О
существуют и принимают значения из /^при G^h^n. связана со входным воздействием мвх (t) соотношением
Макс, порядок производной наз. порядком диф- wBbix^f0rfwBX/di, где т0 ≈ пост, величина, имеющая
феруиц. выражения. Диффсренц. выражение наз. ква- размерность времени. Различают пассивные и активные
в зшганейным, если F линейна по у└, и линейным, если Д. ц. Пассивные Д. ц. применяют в импульсных и циф-
684 она линейна по всем #fe, О^Лг^тг. Все остальные диф- ровых устройствах для укорачивания импульсов. Ак-
")
}
