1tom - 0642.htm
677
циал координаты, dx1, понимают как «бесконечно малое приращение» и заменяют конечным, но достаточно малым приращением Дат''. Поэтому Д.ф. оказывается ф-цией, зависящей от разностей координат двух «бесконечно близких» точек. Д. ф. можно определить в ,11юбом многообразии,
Важнейшим примером Д. ф. является метрика (квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в римановом пространстве) ds'2 =
≈ l?ij (я1, . . ., xri) dx' dxJ\\ определяемая метрическим тензором #;у (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование, п≈размерность многообразия). Произвольная симметричная Д. ф. степени г имеет вид
CD o)(- ^ (.z1, ..., хп) dxtl . . .dxlr и определяется симметричным ковариантным тензорным полем ранга г (см. Тензор}. Несимметричное ковариантное тензорное поле также определяет Д.ф. В этом случае входящие в определение формы дифференциалы (приращения) координат, dx* dx' . . . различны: со ≈
≈GUJ- i (x1, . . ,, хп) dxl.\\y , .dxlSy Напр., антисимметричный дискриминантный тензор r\\£ f определяет в «-мерном евклидовом пространстве форму степени п вида со = т). . d-rj'i. . .dx1-^≈ det Idx*- |l ≈элемент объ╦ма (это объ╦м параллелепипеда, вдоль /-и стороны
к-рого приращение координат равно dx\\j^).
При переходе к др. системе координат дифференциалы dx1 и коэф. Д. ф. ш; L меняются согласованно,
так что сама форма ь> оста╦тся неизменной (инвариантной).
Особенно важны т.н. внешние Д.ф., определяемые тензорами, антисимметричными по всем индексам. Для внешней Д. ф, степени (ранга) г используют запись
1 *» Ч 1 / 1 Ч I ∙∙ ^ \\
≈ ll , . . IГ \\ 1 ∙ ∙ ∙ J ) ∙∙∙ ' \ /
где dxLl А ... A dxtr (т. н. внешнее произведение дифференциалов) ≈ формальное выражение, антисимметричное по всем индексам. Коэф. cot- i не обязательно
антисимметричны, но в Д.ф. ы да╦т вклад лишь антисимметричная часть, о>г(- i -.. Выражение (*) пригод- ,
но лишь в том случае, если вс╦ многообразие покрывается одной системой координат. В противном случае Д.ф. следует представить в виде суммы Д-ф., каждая Из к-рых обращается в ноль за пределами одяой координатной окрестности, т. е. прсдставима и виде (#}. Внешнюю Д. ф. ранга г обычно наз. г-формой. Внешняя Д. ф не может иметь ранг выше п (иначе она обращается в ноль). Формой ранга 0 по определению является ф-ция на многообразии (тензор нулевого ранга). Каждой г-формо со вида (*) можно сопоставить
(г-г-1)-форму dto= (да>1 £ /дх1) dx* A dxli А ... A dxlrj
к-рая наз. в н е m н е и производной или в н е-шним дифференциалом формы ь>. Вторичное применение операции d обращает в ноль любую внешнюю Д.ф.. т. е. dd ≈0. Внешня л производная 0-фор-мы, т. е. ф-ции, совпадает с е╦ дифференциалом, dcp ≈
поэтому
Л dx11 А ... A dx'r.
Внешняя Д. ф. со наз. замкнуто и, если dco=0, и т о ч н о и, если существует такая форма с, что (о= =do, В силу свойства dd=() всякая точная форма является замкнутой. Обратное справедливо но всегда, напр. это так на многообразии, покрываемом одной системой координат. Поэтому классы замкнутых форм, отличающихся на точные формы, можно использовать для характеристики топологии, многообразия.
Для r-формы ш и s-формы о определена (г≈$)-форма
/ 0,-. / dx'i A ... Л dxlr A
наз. их в н е ш н и м ц р о и з в е д е н и е м и удовлетворяющая соотношениям:
а А со ≈ (≈ l)rj(u А а, d (со А а) ≈ (d&) А а-1 (≈ I)7" w A (da).
В n-мерном евклидовом (псевдоенклидовом) пространстве, где при помощи метрич. тензора можно поднимать тензорные индексы, для внешних Д. ф. определяется операция перехода к дуальным Д. ф, (см. также Дуальные тензоры,}".
1
(П-Г)1
СО
1 л...
...Л
переводящая г-форму в (п ≈ г)-форму.~
В римановом пространстве внеш. производную можно выразить через ковариаптные производные,
Л
Л
т.к. в силу симметричности Кристоффеля символов членыт отличающие коварипптную производную от обычной, не дают вклада в dw. Дуальная форма в римановом пространстве определяется как
1
(л-г)!
е,
...Л
'V Ji ∙
' dxfi А...
где индексы подняты при помощи метрнч. тензора, а вместо дискримпнаитного тензора использован тензор (точнее, тензорная плотность) Лени-Чивиты
с
Оператор * в этом случае наз. о п е р а т о р о м X о д-ж а, В римановом пространстве вводят также операцию внешнего кодифференцнала, понижающего ранг формы;
бсо≈ ≈
Л .. ,Л
Эти операции обладают след, свойствами:
S6 ≈0,
«бэдо≈ (≈ 1)" '/- + 1> dto, (г ≈ранг со).
На ориентируемых многообразиях корректно определ╦н интеграл от внешней Д. ф. макс, ранга. Если п ≈ размерность многообразия, то
dx11 А ... A dx1 Л =-- V]'1 ' " '" dx1 А . . ∙ A dx" , и поэтому гг-форму со можно представить в виде
≈ гi1) ∙ ∙ f\\'т* 1 Л Л f?f rt ≈≈ п/7т"1 Л Л
1п ∙ UJ t ^ ; Lta- /\\..,/\\UX ≈≈ \JH<A> / \\ ∙ » . / \\ Ч ' - - * П
где о ≈ со,- f r\\iim' ' ln - п\\ (о п (последнее равенство справедливо лишь в случае, когда величина <й{ ^ антисимметрична по всем индексам). При замене координат величина а преобразуется по закону
/*М f -ч \\ 1л.у-./-п'Г\\ /1 н\\
а{ т i т ** \\ ≈ flPT tflfl i/lr J * n ii"1 T'* I I Л1 I ∙ i 9 » "* I n≈≈≈≈ U.VJ V L l/»V f \\J*As J \\f \\ "-∙ . -, , л ∙ ч*/ J Ч
совпадающему с законом преобразования плотности, если якобиан, det {dxi/dx'J), положителен. Поэтому величина а вед╦т себя как плотность для ориентируемых многообразий. Для такого многообразия интеграл от формы ш равен
р со ≈ \\ о (я1, ... j xn) dx1 . .. dxn ≈
б> А <т = й>л
I
ш a ш
в
е
/\\dxJi/\\ .. , Л
где фигурирует система координат положительной ориентации.
Если о) ≈нек-рая форма макс, ранга на ориентирую- *о^ мом многообразии, то умножая е╦ на произвольную 683
")
}
