1tom - 0588.htm
2 (1~гУБ) ы *,(/>)∙ Если масса нейтрино равна нулю, матрица С/ имеет вид
=о при л=у
634
-(1 + V*) и
т. е. гпиралыюсть нейтрино равна ≈ У2. Частице с отрицат. энергией соответствует антинейтрино (см. нижи), его спнральность равна +И>.
Б неролятпвистском случае £5≈ р /р0<£;1 (в системе СГС Р--О/С, где у ≈ скорость частицы), и спиноры «^(±7>) с точностью до линейных по р членов даются
выражениями:
/ └ \\ / _... fti.» \\
(11)
Отсюда следует, что для нерелятпвнстской частицы «нижние» («верхние») компоненты решений Д. у. с положительной (отрицательной) энергией много меньше «верхних» («нижних») компонент, иривед╦м след, полезные соотношения:
р)
и
= ±
и (±
Для нычнслепия сечения процессов с участием релятивистских частиц со спином У% необходимо знать сум-
мы:
и А<~Р> U),(≈P)- Если спиноры нормированы условиями
= р ± т. (13)
Решения Д. у. с отрицат. полной энергией ≈ несомненная трудность квантовой механики релятивистской частицы. Для е╦ устранения Дирак предположил, что состоянием с мин. энергией (вакуумным состоянием) является состояние, в к-ром все уровни с отрицат. энергией заполнены. Если из этого заполненного «моря» состояний с отрицат. энергией вырвать одно состояние (образовать т, н. дырку Дирака), то полученное при этом состояние будет иметь положит, энергию {см. Дырок теория Дирака). Масса частицы, описываемой этим состоянием, равна массе электрона, а е╦' заряд противоположен заряду электрона. Такая частица ≈ анти~ частица по отношению к электрону ≈ была открыта К. Андерсоном (С. Anderson) в 1932 и паз. позитроном.
Последоват. реализация идеи Дирака о существовании решений с отрицат. энергией требует по существу выхода за рамки одпочастичного ур-штя для релятивистской частицы и осуществляется только в квантовой теории поля.
инвариантно относительно
Как отмечалось, Д. у преобразований Лоренца
/г'\\^__ ^ У
где а% aS -6Й (6^ ≈ символ Кролвкера). Если записать преобразование спинора в виде
где U ≈ 4x4. матрица, ю из условия инвариантности Д. у. следует, что
Сопряж╦нный спинор преобразуется след, образом:
(16)
Для преобразований Лоренца
1 - pj
V l-
Ро -∙'
(17)
где thji=p (Р ≈ скорость одной системы относительно другой). Для преобразования из системы покоя частицы в систему, где е╦ импульс равен /?, а энергия р0, имеем:
,а.,а.,о \\
j^dr), а- 1, 2, 3. (18)
При построении лагранжианов взаимодействия в квантовой теории поля широко используются транс-формац. свойства величин т|У^*х, где $ и ^ ≈ биспи-норы Дирака (сппмор][ые Дирака поля), а
1
^^-о. ч*5
-/
Т Т
≈ полная система 16 матриц Дирака. Из (14) ≈(16) следует, что
скаляр,
четыр╦хмерный вектор, 1 ^Х ≈тензор второго ранга, 1 у5х ≈ псевдовектор, 5Х ≈ псевдоскаляр.
Волновое ур-нне для релятивистской частицы со спином ?-2 ∙? эл.-магн. поле может быть получено из ур-пия для свободной частицы заменой
^Д-!-^д)** (19)
где е ≈ электрпч. заряд частицы, а А =(уг ≈А) ≈ четырехмерный потенциал эл.-магн. поля (ф ≈ скалярный потенциал, А ≈ векторный), Т. о., Д. у. для
электрона (мюона) в эл.-магн. поле имеет вид:
-- 0. (20)
Это ур-нне инвариантно относительно локальных калибровочных преобразований
где Л(.г) ≈- произвольная вещественная ф-ция х. В не-рслятивпстском пределе в первом порядке по р для «верхнего) спинора VK(X) из Д. у. (20) вытекает Паули уравнение. При этом для маги, момента электрона автоматически получается правильное значение efa/2mc (в СГС системе единиц). Если учитывать также члены второго порядка ло р, то в ур-нии для v^(x), вытекающем из Д. у. в центр, поле V(г) (г ≈ расстояние до центра)» возникает потенциал с пин-орбитального взаимодействия,'.
* 1 rf
dr
oL.
(22)
Здесь L ≈ [rj>] ≈ оператор орбитального момента. Д. у. в кулонрвском поле точечного ядра с зарядом Ze, У= =≈Ze2/r может быть решено точно. Для уровней энергии электрона в атоме возникает при этом выражение
г
-
(23)
v
число п принимает целые значения ., а квантовое число полного момента / ≈
Квантовое
полуцелые, такие что Л-1/2^л (a«Vis? ≈ постоянная тонкой структуры). Если 2сс<1, то с точностью до членов (Ztx)4 из (23) следует:
т t 1 ≈
")
}
