1tom - 0586.htm
626
632
ДИРАКА МАТРИЦЫ ≈ 4x4 матрицы, действующие па сшпювую переменную четыр╦х компонентного спинора (биопинора) Дирака (ty]. Д. м, входят в кваитовое волновое ур-ние для релятивистской частицы со спином ]/2 . а также в гамильтонианы взаимодействия полей, в случае если во взаимодействии участвуют частицы со спином '<. (напр., в гамильтониан слабого взаимодействия). Д. м. ctfc (ff≈\\, 2, 3) и р представляют собой эрмитовы матрицы, удовлетворяющие соотношениям
,.
[т. е. х= (я°, аз), ж0≈ время, л?(а:1, х*, ж3)], где goo= SiH = ≈ 8ffc, £о/=£го=01 то ур-пие Дирака имеет вид
(12)
≈ 1£ролекера символ). При вычислении сечений с участием частиц со спином !/2 явный вид Д. м. не нужен, достаточно использовать соотношения {!). Однако при решении Дирака уравнения удобно пользоваться онредел. представленном Д. м. Часто применяют представление, в к-ром матрица р диагональ: ЕВ (представление Дирака ≈ Паули). В этом предстаи-ленпн матрицы а^ и р имеют вид
»
где ал≈ Паули матрицы, а / ≈ единичная 2X2 матрица. Форма ур-пия Дирака, записанного в ковариапт-ном виде, зависит от выбора метрики. В метрике Паули [х^= (j% л"4 ≈ ?><>}, я}(хп -г2< ∙я'з) ≈ пространственная координата, х(> ≈ время; применяется система единиц, в
к-роп fi=c≈ 1] ур-ние Дирака для свободной частицы массы т имеет вид
/ t'llirv jl П *1 / /OS
fy ≈≈+ т)-ф ≈ 0, и ≈1, 2, 3,4 {3} \\ "i-i /
(здесь и далее по повторяющимся индексам ≈ в данном случае DO ц ≈ производится суммирование), где
Матрицы 7tl связаны с матрицами аи р соотношениями
_Y° = P, Vfr^Pffife> v"' = -''YerW (13) и удовлетворяют перестановочным соотношениям
(14)
Из (13) видно, что v° ≈ эрмитова матрица, у* ≈ антиэрмитовы матрицы.
Лит.: Паули В., Общие принципы волновой механики, пер, с нем., М.≈ Л., lfM7; Боголюбов Н. Я,, Ш и р-н о в Д. В., Вшщение Б теорию квантованных иол ей, 4 изд., М., IflS/j; К ь ╦ ]i к е н Д. Д., Д р е л л С. Д., Ре^ятиоист-ская нвантоьая теория, пер, с англ., т, 1, М., 197S.
С. М. Билень-кий.
ДИРАКА ПОЛЕ ≈ фиа. поле частиц со спином % (электронов, МЮ01Ю1), кварков и др.)- При Лоренца преобразованиях н поворотах в пространстве преобразуется как четыр╦хкомионеитлый спинор (биспинор), В квантовой теории поля во взаимодействия представлении оператор Д. и. "ф{я) удовлетворяет Дирака уравнению для свободной частицы. Лагранжиан свободного
Д. и. имеет вид (в системе единиц л- ≈ с=1);
о
(1)
эрмитовы матрицы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям
(5)
где по повторяющемуся индексу ц ≈ О, 1, 2, 3 производится суммирование; т ≈ масса ошшорпой частицы, Y^1 ≈ Дирака матрицы, х^- ≈ четыр╦хмерные координаты, черта над я|) означает дираковское сопряжение:
a|j≈Tjj + Y0 (крестом помечено эрмитово сопряжение). Четыр╦хмерный вектор энергии-импульса (4-импульса)
S
о
(2)
Важную роль в физике частиц играет матрица
удовлетворяющая соотношениям
(+ означает эрмитово сопряженно). В представлении Дирака ≈ Науди матрица ^5 имеет вид
является сохраняющоися воличитюй. Здесь Рк ≈ энергия. Р≈ импульс Д. п. Ьштогрировашю в (2) проводится по всему вространству].
Если ф ≈ неэрмитов оператор, то Д. п, описывает зарнж. частицы, при этом оператор заряда да╦тся выражением
Q
(3)
Путем перемножения матриц у можно построить следующие 16 независимых матриц Дирака:
где е ≈ заряд частицы. Сохранение заряда поля является следствием инвариантности относительно г л о-б а л ь ]) ы х калибровочных преобразований.
Разложение оператора ty(x) ио полной системе решений ур-пия Дирака с опредол. импульсами имеет вид
!; тц; °
(9)
Любая 4x4 матрица может быть разложена по полной системе матриц (9), Между Д. м. имеет место ряд соот-иомюкпй, часто использующихся в приложениях, лапр.:
V V V ^= О 1> -1 О V -^≈ О V ≈ .V-l,. V.._Y j "...Лп | UMVrji
0|AV~'^ ≈ BM
Здесь EM1,,.T ≈ абсолютно антисимметричный (отпо-
pi'A'fJT
сителыю перестановки любых двух индексов) тензор,
┬1234= 1-
Если метрика выбрала так, что скалярное произведение четыр╦хмерных векторов Лий равно:
I J-L Fl'V J A A \\
ГВ , (И)
(р)
Здесь я,(р) и а? (р) ≈ операторы уничтожения частицы и
рождения античастицы с 4-импульсом р≈ (у т2--/?2, и сггиралъностыо К=±У2, а спиноры и
удовлетворяют ур-пиям
(5)
3)
v--- 0, 1, 2, 3
Д. п, квантуется так, чтобы для системы частиц выполнялся принцип Паули, В соответствии с этим прници-
")
}
