1tom - 0580.htm
620
и
ш
^^^
<
Состояние Д с. описывают набором переменных, выбираемых из соображений естественности их интерпретации, простоты описания, симметрии и т. п. Множество состояний Д. с. образует фазовое пространство, каждому состоянию отвечает точка в н╦м, а эволюция изображается (фазовыми) траекториями. Чтобы определять близость состояний, в фазовом пространстве Д. с, вводят понятие расстояния. Совокупность состоянии в фиксиров, момент времени характеризуется фазовым объ╦мом.
Качеств, особенности эволюции Д. с. проявляются в характере фазовых траекторий. Напр., состоянию равновесия отвечает вырожденная траектория ≈ точка в фазовом пространстве, периодич. движению ≈ замкнутая траектория. Траектория квазипериодич. движения с m несоизмеримыми частотами ш/ (т. е. такими, что не существует отличных от нуля целых чисел А;,, удовлет-
ш
воряющих равенству
>|=0) сколь угодно близко
=1
проходит около любой точки m-мерного тора (всюду плотна на н╦м). Вообще, для стационарного режима (установившегося движения системы) характерны траектории, плотные в нек-ром подмножестве фазового пространства, а для переходного процесса ≈ траектории, не возвращающиеся в окрестность своих начальных точек.
Виды динамических систем. По характеру ур-ний и методам исследования Д. с. делят на классы. Конечномерные и бесконечномерные (распредел╦нные) Д. с. ≈ системы с конечномерным и бесконечномерным фазовым пространством. В конечномерном случае консервативные и дисси-пативные Д. с, ≈ системы с сохраняющимся и несохраняющимся фазовым объ╦мом. Гамилътоновы системы с ф-цией Гамильтона, не зависящей от времени, образуют подкласс консервативных систем. У дис-сипативных систем с неогранич. фазовым пространством часта существует ограниченная область в н╦м, куда попадает навсегда любая траектория. Д. с, с н е п р е-рывным временем (потоки) и Д. с. с дискретным временем (каскады); дискретность времени иногда отражает существо реального процесса (дискретность моментов прохождения импульса через усилитель R оптическом квантовом генераторе, сезонность в экологии, смена поколений в генетике н т. д.)- Грубые и негрубые Д. с.; понятие грубости (структурной устойчивости) характеризует качественную неизменность типа движения Д. с. при малом изменении е╦ параметров. Значения параметров, при к-рых система переста╦т быть грубой, наз. бифуркационными (см. Бифуркация). При размерности фазового пространства больше 2 могут существовать целые области в пространстве параметров, где Д, с. оказывается негрубой.
Установившемуся движению диссипативной системы отвечает аттрактор ≈ множество траекторий, к к-рому притягиваются все близкие траектории. Ста-тич,, периодич. или квазипериодич. режимам отвечают простейшие аттракторы: состояние равновесия, периодич. траектория и тор соответственно. Сложному непе-риодич. режиму отвечает странный аттрактор, С физ. точки зрения, диссипативность системы означает, что все движения с достаточно большой энергией затухают.
Иногда (не совсем точно) дисслпативной наз. систему, в к-poii уменьшается объ╦м любой области фазового пространства при сдвиге по траекториям. (В бесконечномерном случае предполагается, что уменьшается объ╦м любого /с-мерного шара при достаточно большом k.) Для конечномерной Д. с., заданной системой диффе-
ренц. ур-ний ж=Х(ж), диссипативность в этом смысле соответствует неравенству div Л*<0.
Локальные свойства траекторий описывают при по-
_ мощи попятил длфференц. геометрии. Примером может
626 служить Д. с., задаваемая системой п (нелинейных)
дифференц. ур-ний зс ≈ X (-jc}\\ здесь ж = х^ ..., хп и X ≈ n-мерные векторы, а точкой обозначено дифференцирование по времени. (Такая система, у к-рой ф-цдщ X не зависят от времени г, наз. а втономной.) Поведение в окрестности состояния равновесия О: ж ≈л;* (где Х{эо*) = 0) прежде всего зависит от свойств линеаризованной вблизи О системы, а именно, корней AI, .. ., Ял характеристик, ур-ния det [dXi/dxj ≈ ≈ Х5/у]ж==1Г« =0, где б/у≈ символ Кронекера. Пусть
Re Яу отрицательны для р и положительны для q корней, прич╦м p-\\-q ≈ n. Если р ≈ п (р~_0), точка О наз, устойчивым (неустойчивым) узлом; траектория с началом в малой окрестности точки О попадает в О при t≈>∙ -\\~ оо (t ∙≈> ≈ со). Если p^O^q, точка О наз. седлом. Через не╦' проходят две поверхности:
/ьмсрная W\\ и g-мерная И'о, наз. устойчивой и неустойчивой сепаратрисами точки О; они образованы траекториями, стремящимися к О при t≈*--j-oo и t≈?- ≈ оо соответственно. Остальные траектории уходят из окрестности седла при t ≈*± оо
(рис. 1). Траектория, лежащая одновременно в W&
и WQ (и не совпадающая с О), наз. двоякоасимп-тотической к О или петлей сепаратрисы седла. При стационарном движении ей отвечает бегущая локализов. волна, - i/ #\\ в данном случае спадающая при t ≈*∙ ± оо (таковы нек-рые солитоны). Если Re^,- ≈0 для некоторых X,-, то устойчивость состояния равновесия определяется следующими членами разло-
Рмс. i. Устойчивая WQ и неустойчивая WQ сепаратрисы
сед левого состояния равновесия О*
жения векторного поля X в рнд Тейлора вблизи О.. Тот же при╦м линеаризации применяют для изучения' поведения траекторий в окрестности периодич, движения L: ж ≈«(?), где « (t +т) = сс (/). Фундам. матрица решений линеаризованной вблизи ж ≈ а системы ур-шш имеет вид с (t) exp R (t.), где с (0 ≈периодич, ф-цпя с периодом т. Поведение траекторий характеризуют мультипликаторы [собств, значения YI, ∙ - -, Т-{ матрицы exp R (т)]; один из них, скажем Y«T равен 1. Если j у/f < 1 (| V/1 > 1) Для всех i^n ≈ 1, то периодич. движение устойчиво (неустойчиво). Если р мультипликаторов лежат внутри, a q ≈ вне единичного круга в комплексной плоскости, p-\\-q ≈ п ≈ 1, то имеем периодич. движение ссдлового типа. В этом случае L. лежит в пересечении двух поверхностей: (р -}-1)-мерной
f^L и ($ + 1)-мерной W^ (устойчивой и неустойчивой сепаратрис).
Поверхность WL (И7^) состоит из траекторий, стремящихся к L при /≈v-j-oo (t~+≈ ос). При п*≈3 и
p = q = i поверхность И7! (WUL) топологически эквивалентна листу Мебиуса, если мультипликатор у, по модулю меньший (больший) 1, отрицателен, или цилиндру, если у положителен (рис. 2).
Поведение траекторий в окрестности L удобно-изучать, рассмотрев их следи на (п ≈ 1)-мернол секущей поверхности Z?t без касания пересекающей L, и близкие к L траектории. Отображение точки т0 из D в первую точку пересечения с D траектории, проходящей через me (рис. 3), наз. отображением: Пуанкаре (или отображением исследования), В координатах | = |i, ..., %n-i таких, что L пересекает D в нуле, отображение Пуанкаре имеет вид.
")
}
