1tom - 0571.htm
\1W
s
X
§
ствисм внеш. сил или в результате теплового движе-| пия могут смещаться относительно своих положений равновесия ≈ узлов кристаллич. реш╦тки. Наличие межатомного взаимодействия делает невозможными независимые смещения отд. атомов, и их коллективное движение приобретает характер колебат. процесса, распространяющегося в виде волн по кристаллу. Если смещения атомов малы, то силы межатомного взаимодействия оказываются пропорциональными смещениям и моделью колеблющегося кристалла может служить система частиц, связанных упругими пружинками. Предположение об упругом характере сил, удерживающих атомы в положении равновесия, на а. гармоническим приближением. Оно приводит к ур-ниям колебаний вида*
ти (п) = ≈
≈ п'} и (я')7
п'
где п ≈ радиус-вектор узла кристаллич, реш╦тки, занятого атомом в равновесии, и (п} ≈ смещение атома из Я-го узла, т ≈ масса атома, а ≈ матрица упругих коэффициентов (динамическая матрица кристалла, см. Модули упругости). Предполагается, что u-Са, где а ≈ межатомное расстояние (период реш╦тки).
Собственными ф-циями ур-ния (1) являются нормаль~ ные колебания (моды) типа:
и (п) ≈ е (s) exp \ikr (п) ≈ iaf].
(2)
Здесь r(n) ≈ координата я-го кристаллич. узла, е ≈ вектор поляризации, определяющий направление индивидуального движения атома, k ≈ квазиволновой вектор (|Л|=2л/Х, где Я ≈ длина волны колебания), со ≈ частота. В процессе нормальных колебаний все атомы кристалла колеблются около своих положений равновесия по гармонич. закону с одинаковой частотой ы. Независимые колебания отличаются разл. векторами А:, лежащими внутри первой Бриллюэна зоны, а также целочисленным параметром, определяющим ветвь закона дисперсии, связывающего величины о? и fci
o2^ro|(fc), *=1, 2, ..., 3v. (3)
Здесь V ≈ число атомов в элементарной ячейке кристалла. Закон дисперсии (3) описывается периодич. ф-цией вектора k с периодами обратной реш╦тки, равными по порядку величины л/а. Число мод равно числу степеней
"9"-О-
гТтТтТтТтТтТт.
-1.1-
-9-
ry- -Q- ~9" -Q- ч-х_
тТТТТТт
618
Рис. 1. Схема длинноволновых колебаний одномерного кристалла: а ≈ акустические колебания; б ≈ оптические колеиания
(а ≈ период решотки).
свободы всех частиц кристалла. В гармонич. приближении любое движение атомов кристалла может быть представлено в виде суперпозиции нормальных колебаний.
Всегда существуют три ветви колебаний (т. и, а к у-стическис колебания}, при к-рых в длинноволновом приближении (Я>а) псе атомы в элементарной ячейке колеблются в одной фазе (рис. 1, а) и закон дисперсии к-рых линеен; ш$ ≈ csk, s≈1, 2, 3. При Хэ>а это обычные звуковые волны в тв╦рдом теле (с ≈ фазо-
вая скорость их распространения) и описывающие их ур-ния (1) превращаются в динамич, ур-ния теории упругости. Если k совпадает с высокосимметричныц кристаллографич, направлением (см. Симметрия кристаллов], акустич. колебания разделяются на одно продольное и два поперечных. Акустич. колебания охватывают диапазон частот от 0 до со<со)/я-~лс/й~1013 с^1. При более высоких частотах (со~ о>,л) закон дисперсии акустич. колебаний отличается от звукового ≈ он переста╦т быть линейным (рис. 2).
Я
Рис. 2- Законы дисперсии акустических (Л) и оптических (О) колебаний с продольной (L) и поперечной (Т) поляризацией для алмаза в двух кристаллографических направлениях, восстановленные нейтроннографическим методом.
В простой кристаллич, реш╦тке (v = l) существуют только акустич. колебания. В сложной кристаллич, решетке (v>l) возможны также 3v≈3 ветвей колебаний (т. и. оптические колебания), характеризующиеся тем, что при К^>а центр масс элементарной ячейки покоится и происходят относительные смещения разных атомов внутри элементарной ячейки (рис. 1, б\\.
В ионных кристаллах, элементарная ячейка к-рых состоит иа ионов противоположных знаков, онгич, колебания сопровождаются колебаниями электрич. поляризации и потому связаны с эл.-магн. колебаниями в ИК-области частот. Название «оптич. колебания» связано с резонансным поглощением эл.-магн. излучения соответствующей частоты.
Частоты оптич. колебаний лежат выше частот акустич. колебаний (рис. 2}. Полосы частот акустич. и оптич. колебаний могут перекрываться, но могут быть раздел╦нными запрещ╦нными зонами частот.
Часто при качественном описании колебаний кристаллич, решетки и при оценке их вклада в разл. физ. явления (а иногда при теоретич. расч╦тах) используется теория Дебая. Эта теория основана на предположении, что каждая акустич. ветвь колебаний имеет линейный закон дисперсии при всех частотах в интервале О≈о>л, где дебасвская частота сод находится из условия равенства числа колебаний в каждой ретин числу атомов ь кристалле. Оказывается, что Юд~<а,и (см. Дебая теория тв╦рдого тела)-
Важнейшей характеристикой спектра колебаний кристалла является ф-ция распределения частот #(о>), определяющая спектральную плотность колебаний. Ф-ция #(<(>) однозначно связана с законом дисперсии. При нииких частотах (ш-Сы└,) она не отличается от плотности акустич. колебаний и совпадает с ной: #{ш)~ /≈(о2. В интервале 0<со^сйгл ф-ция £(оо) обладает син-гулярностями: при нек-рых частотах е╦ производная обращается в бесконечность (см. Ван Хова особенности). Такая особенность, в частности, имеется па краю спектра частот при со≈ww, где g (u))~yrir><n≈ш (рис. 3). Плотность колебаний чувствительна к наличию дефектов в кристалле. Знание ф-ции £(<о) необходимо
")
}
