1tom - 0515.htm
ш 3
z
а ш
Рис. 5. Пример графа в кластерном разложении модели Поттса.
кгодель случайных кластеров. Статистич. сумму модели Поттса можно представить графически, используя след, представление ПСВ: exp (A"opipa ) =
≈ i-\\-v$ , у = ехрй ≈1. На графе сопоставим 1 пустое ребро, а и$р р ≈заполненное (рис. 5). Кластером наз. совокупность узлов, соединенных заполненными р╦брами. Изолиров. узел также считается кластером. Статистич. сумма q-компонентной модели Поттса представляется в виде Z (g, y)= ^j g*vffl, где ft ≈число кла-
по графам
стеров, а л» ≈число заполненных р╦бер в графе. Определив статистич. сумму графически, можно не считать q целым числом. Модель Поттса при q≈-i связана с процессами протекания (см. Протекания теория], а при д ≈0 ≈ со статистикой длинных полимерных молекул без самопересечения. Модель случайных кластеров можно преобразовать в бУ-модель.
Критические свойства двумерных систем. При достаточно низких темп-pax ср. значение параметра порядка (намагниченности) системы с дискретной абелевой группой симметрии отлично от нуля. При высоких темп-pax система находится в неупорядоч. состоянии. В системах с непрерывной группой симметрии намагниченность отсутствует во вс╦м диапазоне темп-р. В модели Б В различие между фазами выражается в поведении корреляторов на больших расстояниях. Ниже точки перехода (в т. н. мягкой фазе) они убывают по степенному закону, выше точки перехода убывание происходит экспоненциально. В мягкой фазе взаимодействие между пробными зарядами кулоновское (логарифмическое). После диссоциации вихревых молекул пробные заряды экранируются и взаимодействуют экс-поненциально слабо. Изменение характера взаимодействия приводит к изменению зависимости коррелятора от расстояния.
В Zo-симметричных моделях при q > 4 существует интервал темп-р (4 < 2л/эфф < 02/4, где /эфф ≈эфф. постоянная взаимодействия), в к-ром симметрия восстанавливается. В этой фазе корреляторы убывают по степенному закону (мягкая фаза). На верх, границе интервала происходит описанный выше переход в ку-лоновском газе вихрей. Высокотемпературная фаза характеризуется полным беспорядком и экспоненц. спаданном корреляторов. При q < 4 промежуточная (мягкая) фаза отсутствует. Фазовые диаграммы для //^4 и q > 4 изображены на рис. 6.
Точное решение модели Изинга демонстрирует существование единств, фазового перехода 2-го рода
Рис. 6. Фазовые диаграммы модели Берсзин-ского ≈ Виллэна с нарушенной симметрией (см. табл. 1). Утолщ╦нный отрезок оси абсцисс соответствует мягкой фазе. При д>4 заштрихованная область между двумя жирными линиями соответствует мягкой фазе.
тропной модели связаны ДП (ехрЯд≈ 1)-(ехр#р≈1) ≈ ≈ <?. Считается, что то же соотношение определяет критич. точку при <?^4, При q > 4 переход происходит скачком (переход 1-го рода), а при дз£ 4 ≈ непрерывно (переход 2-го рода).
Свободная энергия модели Бакстера ≈ аналитич. ф-ция параметров а, Ь, с, d > 0, за исключением плоскостей
а- +с+ , ,-вт , -а с.^
На этих плоскостях корреляц. радиус обращается в бесконечность. Параметр k"2-≈abed/a bed обращается
Рис. 7. Фазовая диаграм- х ., ма однородной и идотроп- 3 ной модели Ашкина ≈ Теллера: а ≈ листы критической поверхности пересекаются попарно вдоль отрезков PL,, PLZ, PL, с общей тройной точкой Р, все три отрезка лежат в пл оскости JVtJVfJV.,,; б ≈ сечение фазовой диаграммы плоскостью NiNsN3.
в точке, где параметры /^ и Jv связаны соотношением дуальности sh (2/^) sh (2JV) = t. В изотропной модели
критич. значение /{C) = ln (f^2 ± l), где знак «-f-* соответствует ферромагнетику, а «≈» ≈ антиферромагнетику. Для моделей Поттса при q > 4 показано, что экви-_ валентная 6 F-модель имеет единств, точку фазового 568 перехода при u = s = 0. Параметры Яд и Kv в анизо-
а
в 1 на плоскостях (3) и толь-ко на них. Система находится в упорядоч. фазе при А:2<1 и в неупорядоченной при ft*>l.
Фазовую диаграмму модели AT удобно представить в координатах я/≈ш,7ш0, 0^ <£/^1, Г=1Т 2, 3 (рис. 7, а). Критич. поверхность состоит из 3 листов. Изотропная модель AT эквивалентна модели Бакстера с а=Ъ при
УСЛОВИИ д:1-|-з:2+д:3 ≈1. В ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ (рИС. 7, 6)
отрезки x;=xj состоят из критич. точек. Линия Зй^≈х^ соответствует d=Q в модели Бакстера. Центр треугольника является критич, точкой 4-компонентной модели Поттса.
Фазовое пространство модели ЖГ в координатах L, М ограничено кривыми z(Lt Л/}≈От где z выражается через L и М согласно ф-ле (2). Области z{L, M)<0, заштрихованные на рис. 8, нефизические. В оставшейся области значение параметра
Д=а1/'[1≈z exp(/H-Jtf)l определяет, в какой фазе находится система. Границы фаз определяются условием Д=±ДС, где Д(Г2~
= [(l+Vr5)/2lfi. Фазовая диаграмма симметрична относительно замены осей L и М. В фазах I, III, V ПЛОТ- рис. 8- Фазовая диаграмма ность на подреш╦тках оди- точно редпаемой обобщ╦нной накова (жидкая фаза). В фа- мо*ели жестких гсксагонов. зах П и VI частицы занимают преимущественно одну из тр╦х подреш╦ток (треугольный кристалл). В фазе IV занята одна из двух под-реш╦ток (квадратный кристалл).
Критич. показатели, В модели БВ масштабная размерность параметра порядка Д в точке фазового перехода равна 1/в, что подтверждено при измерении в пл╦нках 4Не отношения сверхтекучей
")
}
