1tom - 0488.htm
с?
ш
О
CL
С
∙в * образующих Г. Если ГЛ G реализована как подгруппа
в GL (л, R) или GL (п, С), то е╦ алгебра Ли $ является подалгеброй в $1 (я, Щ или #/(п, С). Напр., Г. О (п) ортогональных матриц и Г. 50 (п) ортогональных уни-модулярных матриц имеют одну и ту же алгебру Ли so (ft), состоящую из всех антисимметричных веществ, матриц; группе SL (л, IR) веществ, унимодулярных матриц соответствует алгебра Ли 5/ (п, R), состоящая из матриц с нулевым следом; группе U (п) унитарных матриц соответствует алгебра Ли и(п) антиэрмитовых матриц (т. е. таких, что Х+ ≈ ≈ X).
Тесная связь между ГЛ к алгеброй Ли позволяет свести изучение представлений ГЛ к изучению представлений алгебры Ли. В конечном сч╦те задача сводится к исследованию представлений генераторов Г. Задать такое представление ≈ значит задать п матриц (или в общем случае линейных операторов) X,, удовлетворяющих коммутац. соотнотепиям с заданным набором структурных констант. Именно эту методику (и н ф и-нитезимальный подход) обычно используют при изучении представлений ГЛ.
Алгебра Ли характеризует лишь локальные свойства ГЛ, т. е. такие, к-рые можно сформулировать в терминах достаточно малой окрестности единицы. В частности, для определения алгебры Ли достаточно ввести координаты лишь в пек-рой окрестности единицы.
Отображение ф : G1≈t-Gz одной ГЛ на другую ГЛ наз. изоморфизмом групп Ли, если оно взаимно однозначно, согласовано с групповым умножением в каждой Г. и является гладким (т. е. в любой системе координат выражается гладкими ф-циями). ГЛ Сг и Gz в этом случае наз, изоморфными. Две ГЛ паз. локально изоморфными, если изоморфизм определ╦н в нек-рой окрестности единицы (но, вообще говоря, не продолжается на всю Г.). Локально изоморфные ГЛ имеют одинаковые (изоморфные) алгебры Ли. Обратно, если две ГЛ имеют изоморфные алгебры Ли, то они локально изоморфны.
ГЛ наз. односвязной, если любая замкнутая кривая в этой Г. может быть непрерывной деформацией стянута в точку. Для любой ГЛ G совокупность G0 тех е╦ элементов, к-рые можно соединить с единицей непрерывной кривой, образует максимальную связную подгруппу в С, паз. связной компонентой единицы Г. G. Подгруппа G0 инвариантна в G, а фактор-группа G/Ga дискретна. Напр., для Г. О (п) связной компонентой единицы является подгруппа SO (п). Фактор-группа О (n}/SO (п) состоит из двух элементов. Связная ГЛ G является разрешимой (соответственно нильпотентной, почти простой, полупростой), если и только если е╦ алгебра Ли ^ разрешима (соответственно нильпотентпа, проста, полупроста).
Среди всех связных ГЛ, локально изоморфных данной Г. G, есть ровно одпа односвязная Г. G, наз. универсальной накрывающей Г. G. Все прочие Г,, локально изоморфные G, являются фа к тор-группами G по различным дискретным инвариантным подгруппам, принадлежащим центру Г, G, Напр., все коммутативные связные ГЛ размерности п локально изоморфны. Односвязной Г. среди них (универсальной накрывающей для всех них) является R* ≈ евклидово л-мер-ное пространство со сложением в качестве групповой операции (или Г. трансляций этого пространства). Произвольная Г. из этого класса имеет вид КЛ/Г, где Г≈ пек-рая решетка (дискретная подгруппа) в IR". Если группа Г порождена k линейно независимыми векторами, то Rn/r изоморфна R"~*{x)TA.
Всякая ГЛ локально изоморфна нек-рой матричной Г. Для мн. типов ГЛ это утверждение верно не только локально, но и в целом (глобально). В частности, все разрешимые, все компактные л все комплексные ГЛ допускают глобальную матричную реализацию.
Всякая связная односвязпая ГЛ является полупря-
ГЛ на связную односвязную разрешимую ГЛ. Все иолу-простые ГЛ полностью описаны (см. Ли алгебра), а классификация разрешимых ГЛ доведена до размерности 6.
Лит.: Любарский Г: Я., Теория групп и се применение; в физике, М., 1958; В и г н ер Е., Теория групп и ее приложения к кваитовомеханической теории атомных спектров, пер. с англ., М., 1961; Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962; Хамермеш M.t Теория групп и се применение к физическим проблемам, пер. с англ., М., 1966; Л я-х о в с к и и В. Д., Болохов А. А., Группы симметрии и элементарные частицы, Л., 1983; Эллиот Д ж., Д п-б е р II., Симметрия в физике, пер. с англ., т. 1 ≈ 2, М., 1983; Рихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер, с англ., т. 2, М,, 1984; В е и л ь Г., Теория групп и квантовая механика, пер. с англ., М., 1986.
А. А. Кириллов, М. Б. Меиский.
ГРУШШРОВАТЕЛЬ (банчер) ≈устройство, осуществляющее разбиение непрерывного пучка заряж. частиц на отд. сгустки или усиливающее степень группирования в пучке (сжимающее сгустки). Обычно это ≈ R4-устройство (резонатор или система резонаторов, волновод), расположенное на траектории пучка и в зависимости от фазы поля в момент прохождения частицей этого устройства замедляющее или ускоряющее частицы так, чтобы на выходе Г. они собрались в компактные сгустки. Простейший Г. клистроиыого типа представляет собой резонатор с малым ускоряющим зазором и примыкающий к нему дрейфовый промежуток. Частица, проходящая ускоряющий зазор в момент прохождения напряжения через нуль («средняя» частица), не меняет скорости; частицы, попавшие в зазор позже, приобретают дополнит, скорость и после зазора постепенно нагоняют «среднюю» частицу, а пришедшие в зазор раньше «средней»≈замедляются и постепенно приближаются к ней. Длина дрейфового промежутка подбирается так, чтобы па его конце сближение частиц было максимальным. Наилучшая группировка (при слабых токах) получается при пилообразном изменении напряжения на ускоряющем зазоре. э. Л. Бурштейн. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ волн ≈ скорость движения группы или цуга волн, образующих в каждый данный момент времени локализованный в пространстве волновой пакет, огибающая к-рого представляет собой плавную в масштабе длины волны Я кривую (рис. 1} (см. Волны}. В линейных средах, где соблюдается суперпозиции принцип^ его можно рассматривать как набор гармопич. волн с частотами в интервале со0≈Дсо<о>< Рис. <о>0Н-Д((>), тем более узком, чем плавнее и протяж╦ннее огибающая группы. Длпна пакета Д£ и ширина его спектра До» ограничены снизу соотношением AL ДД-^1, где волновое число k связано & частотой (о дисперсионным соотношением ш=со(А;).
Если среда не обладает дисперсией, то все гардюпич. волны распространяются с одной и той же фазовой скоростью, и пакет вед╦т себя как строго стационарная волна ≈ его Г. с, совпадает с фазовой скоростью рф. При наличии дисперсии волны разл, частот распространяются с разными скоростями и форма огибающей искажается. Однако для сигналов с достаточно узким спектром, когда фазовые скорости гармонич, волн, образующих волновой пакет, мало отличаются друг от друга, и на Бе слишком больших расстояниях, когда форма огибающей приближ╦нно сохраняется, влияние дисперсии сказывается лишь на скорости перемещения огибающей, к-рая и есть Г. с. Поскольку распространение двух синусоидальных волн с близкими частотами (U0± Д(0 пакета описывается выражениями
sin [(»0 ± Aw) / ≈ (А0 ± Д&) x], то скорость их огибающей равна Да>/ДЛ:, что в пределе
, 0(0
приводит к ф-ле и≥= -%?
1. Волновой пакет.
544
мым произведением связной одпосвязнои полупростои
. На рис, 2 представлены
и
три последовательных мгновенных снимка сигнала с узким спектром, распространяющегося в среде с дисперсией. Наклон пунктирных прямых, соединяю-
")
}
