1tom - 0487.htm
537
помощью дискретной Г. трансляций. Тривиальными расширениями (полупрямыми произведениями) являются Г. движений евклидовых и псе в доев к л ид о в ых лространств, в т. ч. группа Пуанкаре.
Группы Ли. Элементы ГЛ задают конечным набором числовых параметров (координат) так, что групповое умножение и переход к обратному элементу выражаются
∙с помощью гладких (бесконечно дифференцируемых) ф-цин от этих параметров. Число параметров наз. размерностью ГЛ. Параметры могут быть вещественными или комплексными, в соответствии с этим ГЛ лаз, вещ ест венной или комплексной ГЛ . Каждую комплексную ГЛ можно рассматривать как веществ. ГЛ вдвое большей размерности. Примерами ГЛ являются физически важные Г. трансляций, вращений, конформных и унитарных преобразований разных размерностей, группа Лоренца, трудна Пуанкаре и т. д. ГЛ в целом может обладать такой топологией, что е╦ невозможно покрыть одной системой координат. Это имеет место даже для такой простой ГЛ, как Г. поворотов плоскости, 30(2). Топологически эта Г. эквивалентна окружности и не может быть гладко отображена на веществ, прямую (ось координат) или к.-л. интервал этой прямой.
Поэтому в общем случае на ГЛ вводят целое семейство
∙систем координат (карт), каждая из них покрывает нек-рую область Г. (координатную окрестность). На пересечении любых двух координатных окрестностей, где имеют смысл сразу две системы координат, переход от одной из них к другой описывается с помощью гладких (бесконечно дифференцируемых) ф-ций. Операция умножения в Г. и переход к обратному элементу в любой системе координат описываются гладкими (бесконечно дифференцируемыми) ф-циями. Сказанное можно сформулировать след. образом: ГЛ ≈ это группа, к-рая одновременно является гладким многообразием, прич╦м групповая структура согласована со структурой многообразия.
Для определения алгебры Ли пользуются матричной реализацией (линейным представлением) Г.: пусть каждый элемент g группы G представляет собой матрицу (или, что то же, линейный оператор в конечномерном линейном пространстве). Элемент g характеризуется набором числовых параметров (координат на Г.), g ≈ = g(^1, ..., хп)> Условимся выбирать эти параметры так, чтобы единице Г. соответствовали нулевые значения параметров, £ = g(Q, ..., 0). Тогда инфините-зимальным оператором (генератором) Г. G наз. производная от ф-ции g по одному из параметров, взятая в единице Г.; Х,- = [dg/dx'}^^ ..^-Q.
Ясно, что генераторы являются матрицами (операторами) той же размерности, что и элементы Г. Оказывается, что коммутатор двух генераторов линейно выражается через генераторы: [X,-, X/] ≈ Х,'Ху ≈ XjXf =
наз. структурными
h
константами Г. Существенно, что набор структурных констант не зависит от того, какая матричная реализация (представление) Г. выбрана для определения операторов X,-. Поэтому структурные константы характеризуют не конкретное представление, а саму Г. В то же время структурные константы зависят от выбора системы координат вблизи единицы Г. При изменении системы координат структурные константы меняются как тензоры,. Выбором системы координат обычно добиваются, чтобы набор структурных констант был но возможности более простым. Для полупростой ГЛ можно построить из генераторов скалярный квадратичный оператор С, наз. оператором Кази-
мира: С--= 2 8Р4ХР Xq, где gpq = 2
Операторы X,-, i = i, . .., я, образуют базис алгебры Ли. Произвольный элемент алгебры является линейной
комбинацией базисных элементов, Х =
Т.о., алгебра Ли группы Ли G является касательным пространством к многообразию G в точке е,
Можно определить структурные константы и не обращаясь к матричной реализации (линейному представлению) Г. Пусть в нек-рой системе координат закон умножения в ГЛ имеет вид х"к ≈ ^к(х, х'), так что g (я) g (#') ~g (х") (здесь одной буквой х обозначен весь набор координат а;1, ...,#"). По определению ГЛ, ф-ции if* (я, х') должны быть бесконечно дифференцируемы. Разложение их в ряд Тейлора имеет вид
где многоточие обозначает члены более высоких порядков. Тогда величины Ct- -t~Bi /≈By \ являются структурными константами и определяют соответствующую алгебру Ли. Существуют также способы построения алгебры Ли по ГЛ, не использующие явно систему координат. Для научения ГЛ важны однопараметрич. подгруппы (т. е. одномерные ГЛ). Параметр t в такой подгруппе выбирают так, чтобы выполнялись равенства х(0)≈ et x(f] x(s)≈x(t-\\-$). Существует взаимно однозначное соответствие между однопараметрич. подгруппами в ГЛ G д элементами е╦ алгебры Ли £:
подгруппе x(t) соответствует касательный вектор ,т(0). Экспоненциальное отображение алгебры Ли ^ в ГЛ G определяют так: ехрХ^#(1), где х (t) ≈ однопараметрич. подгруппа, соответствующая элементу X. Для матричных ГЛ отображение ехр совпадает с обычной экспонентой: ехр X = 2 X*/k\\, Обрат-
ное отображение (определ╦нное только в нек-рой окрестности единицы) иногда обозначают In. С помощью экспояенц. отображения в ГЛ G определяют к а и о-нич, систему координат: координатами точки g = ехр X служат коэф. разложения X ≈Ing по базису
п
в алгебре Ли: Х = 2 СА"* 0°н- свойство экспоненц.
i = 1
отображения ≈ его функториальность, к-рая выражается коммутативной диаграммою!:
ехр f
I ехр ,
= 2
мет"
рич, тензор Картана.
где ф ≈ любой гомоморфизм ГЛ Gt в ГЛ G2, a фг (е)≈ производная отображения в точке е. Это значит, что в канонич. координатах любой гомоморфизм Г Л записывается линейными ф-циями.
Наиб, важными примерами ГЛ являются Г. GL (nt R) всех невырожденных (обратимых) п Хп матриц с веществ, элементами и Г. GL (п, С) всех невырожденных пхп матриц с комплексными элементами. Координатами в этих Г, могут служить сами матричные элементы. Поэтому GL(n, R) ≈ это веществ. ГЛ размерности п2, a GL (п, С) ≈комплексная ГЛ размерности п2 (к-рую можно рассматривать как веществ. ГЛ размерности 2п2). Алгеброй Ли группы GL (я, R) [соответственно GL (п, С)] является пространство всех «Xi матриц с веществ, (соответственно комплексными) элементами. Она обозначается через #/ (я, IR) [соответственно $1 (я, С)].
В назв. матричных ГЛ отражены свойства их элементов. В общем случае ставят букву L (линейность), унитарность отмечают буквой U, ортогональность ≈ буквой О. Если матрицы имеют единичный определитель (унимодулярны), в назв. Г. ставят букву S* В скобках после названия указывают ранг (число строк) матриц,
С С X
")
}
