1tom - 0485.htm
535
используют обозначение
#+#',
а сложением, вместо а элемент е наз. нул╦м.
С точки зрения групповой структуры, природа эле-ментов Г. несущественна. Г. задана, если любым спо-собом описаны все е╦ элементы и определена групповая операция над ними. Напр., в конечной Г. (содержащей конечное число элементов, наз. порядком Г.) групповую операцию можно задать с помощью табл. умножения. В приложениях. Г. возникает обычно в пек-роп конкретной реализации, е╦ элементами могут быть, напр.т числа, матрицы, операторы и т. Д. При этом групповую операцию можно задавать как сложение илн умножение чисел, умножение матриц или операто-ров и т. п. Наиб, распространение имеет реализация .элементов Г, как преобразований, т. е. вза-имно однозначных отображений разд. множеств на себя, g: X ≈ »-А'. Групповой операцией в этом случае являетсн к о м и о а и ц и я отображений, (gg')(x) = g(g' (#)), та-коо определение гарантирует ассоциативность умно-жения.
Часто группу 6' задают как Г. всех преобразований данного множества X, сохраняющих иок-рую матем. структуру, введ╦нную на этом множестве. Так, если X ≈ конечное множество (без какой бы то ни было дополнит. структуры), то G состоит из всех перестановок точек Х\\ если X ≈ векторное пространство, то G ≈ совокупность всех. линейных невырожденных преобразований Х\\ если X ≈ вещественное евклидово (соответственно ком-плексное гильбертово) пространство, то G ≈ совокуп-мости ортогональных (соответственно унитарных) про-образований; если X ≈ гладкое многообразие (точки к-рого в каждой достаточно малой окрестности зада-ютс-я координатами, а переход от одной системы коор-динат к другой описывается гладкими ф-циями), то G ≈ совокупность всех диффеоморфизмов (взаимно однозначных преобразований, описывающихся глад-кими ф-циями в любой системе координат).
Подмножество К в группе G наз. подгруппой, если оно само является Г. относительно той же группо-вой операции. Подмножество #/(, состоящее из элемен-тов вида gk, где fc(jj/(, наз. левым смежным к л а с с о м элемента g но подгруппе /(. Два смежных класса gK, g'K либо не имеют та одного общего эле-мента, либо полностью совпадают (последнее имеет место при g'£gK). Т. о., группа G разбивается на нспе-росекающиося смежные классы. Можно рассматривать смежные классы как элементы нек-рого нового миоже-ства. Оно наз. фактор- пространством Г. G по подгруппе К и обозначается О/К. Аналогично можпо ввести и правые смежные классы Л'#, к-рые также осуществляют (вообще говоря, другое) разбиение Г. Множество правых классов также наз. фактор-пространством и обозначается *\\С. ^
Подгруппа K~G наз. и н в а р и а н т н о и п о д-г р у п п о и (или н о р м а л ь н ы м д ели т ел е и), «ли для любого g£G имеет место gKg * = К (т. е. gkg-L£K, коль скоро k£K]. В случае инвариаптнои подгруппы правые смежные классы совпадают с левы-ми, Aff-^A. В этом случае умножение на Г. естестп.
11РеЛ^ет Ушюж^ие нежных классов: = (gg )К, так что фактор-пространство GI К превращается в Г. Эта Г^наз. фактор-группой 6 по А. Напр., в группе Пуанкаре Р выделяют две под-группы: Г. трансляции Т _и Лоренца *РупяуЬ. Подгруп-па Т инвариантна в Р. Фактор-группа Р/Т изоморфна L (об изоморфизме см. ниже). Примером инвариантной тюдгрушш является центр г р у п п ы G, т. е. мно-жество элементов, каждый из к-рьгх коммутирует со всеми остальными элементами Г.
Отображение ср : G-^G^ одной 1 . на другую наз. изоморфизмом, если это отображение вааим-по однозначно и согласовано с групповым умножением в обеих Г., т. е. если cp(ffg') = q>(*)q>(*') для любых ff, #'┬#!. В этом случае Г. 6\\ и С2 наз. и в о м о р ф-II ы м и, что обозначают С^0г или G^GZ. Изоморфизм
Г. на ту же самую Г. (на себя) наз. автоморфиз-м о м. Изоморфные Г. не отличаются с точки зрения своей внутр. групповой структуры. Когда говорят об абстрактной Г., имеют в вицу, что Г. яадана с точностью до изоморфизма (т, е. задан на самом деле лишь класс изоморфных друг другу Г.). Наоборот, конкретная реализация Г. означает выбор одной определ╦нной Г. из класса изоморфных. Напр., Г. R всех веществ. чисел со сложением в качестве групповой операции изо-морфна Г. R+ положит, чисел с умножением в качестве групповой операции (изоморфизм в одном направлении осуществляется операцией ехр, в обратном ≈ опера-цией In). Можно считать, что R и R+ это разные реа-лиаации одной и той же абстрактной Г. Ещ╦ одной реализацией той же Г. является Г. сдвигов (трансля-циц) веществ, прямой. Точно так же разд. реализациями одной и той же абстрактной Г. являются окружность (со сложением углов в качество групповой операции), Г- движений окружности, Г. поворотов плоскости и Г. всех комплексных чисел, по модулю равных единице (с умножением в качестве групповой операции). Соответ-ствующую абстрактную Г, часто обозначают через Т или Т1 (одномерный тор, т.е. окружность).
Более общим, чем изоморфизм, является понятие гомоморфизма Г. Отображение ср: G^≈ »-C2 одной Г, в другую наз. гоыоморфизмо м, если оно согла-совано с групповым умножением в обеих Г. В этом случае не требуется, чтобы образ отображения (p(Gj) совпадал с группой G2. Он может быть подгруппой в £2. Не требуется и взаимной однозначности отображения, так что одному элементу в ф(^) может соответствовать более чем один прообраз в Gl. Множество прообразов единицы, tp~1(e2), образует в Ог инвариантную подгруп-пу, наз. ядром гомоморф и им а. Фактор-группа С1/ф~1(е2) изоморфна группе 9(6^).
Если G' ≈ группа линейных преобразований (невы-рожденных операторов) в нек-ром линейном прострак-стае L, то гомоморфизм U: G~*-Gf наз. представ-лен и ем группы G (точнее, линейным представ-леьием). Т. о., линейное представление каждому эле-менту g группы G ставит в соответствие невырожден-ный линейный оператор V {#), прич╦м произведению элементов Г. соответствует произведение операторов,
с с >»
о.
В более общем случае, когда G' ≈ Г. преобразований множества X любой природы, говорят, что гомоморфизм ф; G->Gf определяет действие группнбнаХ (иногда такой гомоморфизм наз. нелинейным представлением группы). Вместо y(g)x pe-зультат действия элемента g на точку х обозначают иногда gx
Пространство X, на к^рои задано действие группы С, нм * ^ Q ' ' в Q м Е г ≥йствует
н / ^ любой парьДоче/
х най ╦тся элемС11Т ы переводящий одну из oqe^ ^ £ н у
н п р о с т р а н с т в о м. Фактор-пространство все-
явя/ется однородным пространством. Напр., группа
л L не является инвариантной подгруппой в
^ Пуанкаре Р, поэтому фактор-пространство
/£ являе/ся однородным пространством но но фактор-
ой. Любое ^пространство представляется в виде
0^ мния ^пересекающихся подпространств, в каж-
Г- действует траиаиивио Эти подцро-
ства Р1ШЗ( областями т р а н з и т и в н о-
с ТНИ или 0 р, б и т а м и г р у п п ы С т а ц и о н а р-
й Q * п Q - (стабРи;изатором) «ек-рой точки
наз множество элементов Г., оставляющие эту на месте>
Прямым произведением групп Gt и G2 наз- множество пар (#г, g2), где g\\^G^ g^^Gz, с опре-дел╦нной на этом мпоадество операцией умножения
(#г, ^2) (gi, ^2)^ (g\\gi, Sziz)- Т. о., прямое произведе-ние Г. также является Г., к-рая обозначается
")
}
