|
|
ГРИНА ФУНКЦИЯ в статист и ческой ф и-X з н к е ≈ обобщение временной корреляц. ф-ции, тесно связанное с вычислением наблюдаемых физ. величин для в- квантовой системы мн. частиц. Применение Г. ф. связано с тем, что для нахождения важных характеристик системы мн. частиц нужно знать не детальное поведение каждой частицы, а только усредненное поведение одной или двух частиц под действием остальных, для описания к-рого можно ввести Г. ф.
Г. ф. (запаздывающие н опережающие) определяют как ср. значения коммутаторов или антикоммутаторов двух операторов в Гейзеиберга представлении:
, B(t')]y,
где 6(f) = l при *>0 и 6(0=0 при t<0, <....> ≈ усреднение по большому каноническому распределению Гиббса, U, В\\=АВ≈ f\\BA, где i]=:j_l. Значение т] выбирается из соображений удобства: если А, В ≈ бозе-операторы, то обычно выбирают т|≈ 1, для ферма-операторов г]≈ ≈ 1. Представление Гейзелберга вводит при помощи оператора 3^ ≈ Н≈ |лЛт, где Н ≈ оператор Гамильтона системы ми. частиц, |Л ≈ хим. потенциал, 7V ≈ оператор полного числа частиц. Используют также причинные Г. ф.
1 <f л (0 в (О>.
где Т ≈ символ хронологии, упорядочения операторов, располагающего стоящие после него операторы слева направо в порядке убывания времени н меняющего знак па обратный при неч╦тном чксле ферми-операто-ров:
TA(t)B(t')--Q(t-tf)A(t)B{t')-\\-i]Q(tr-t) B(t')
Г. ф. в статистич. физике наз, также двухвремепными температурными Г. ф., они отличаются от Г. ф., применяемых в квантовой теории поля, лишь способом усреднения: вместо усреднения по нижнему, вакуумному состоянию производят усреднение по большому ка-нопнч. ансамблю Гиббса.
Запаздывающие Г. ф. имеют простой фнз. смысл, они определяют реакцию системы на включение б-образною возмущения В& (t ≈ t') и дают изменение ср. значения А
к моменту г : A (t) = <Л> -р Gret(f≈ t'). Причинные Г- ф. не имеют столь простого физ. смысла, но они тесно связаны с теорией возмущений при нулевой темп-ре, т. е. с вычислением энергии осн. состояния системы. Наиб, тесно связаны с теорией возмущений при отличной от нуля темп-ре Т (т. е. с термодинамической теорией возмущений} температурные, введ╦нные Т. Ма-цубарой (Т. Matsubara, 1955), Г- ф., к-рые отличаются от причинных Г. ф. тем, что операторы берутся не в обычном представлении Гейвенберга, а в представлении, зависящем от нек-рого мнимого «времени* ≈ it, изменяющегося в интервале от ≈ i/ftT до нуля:
^ (х, i)e^ l5ifi|>
538
где 1|>(з-), т|>+ (я) ≈ операторы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям Возе ≈ Эйнштейна стати* с?пики или Ферми ≈ Дирака статистики.
Для таких Г. ф. можно построить диаграммную технику при конечных темп-pax, аналогичную диаграммной технике квантовой теории поля. Все осн. понятия диаграммной техники (собственно энергстич. части, вершишше ф-ции) можно перенести на случай ненулевой темп-ры.
Г. ф, удовлетворяют цепочке зацепляющихся ур-штй, к-рые получаются при дифференцировании Г. ф. по времени (или параметру т). Вводя для Г. ф. Gadv, Gret. Gc одинаковые обозначения G(t≈t')≈^A (t}B ( получим
а *≈*'
Это ур-ние выражает исходные Г. ф. через Г. ф. болев высокого порядка, для к-рых можно получить подобные ур-ния, и т, д. Ур-ния такого типа одинаковы для запаздывающих, опережающих и причинных Г. ф., следовательно, их надо дополнить граничными условиями, используя спектральные представления. Временные корреляц. ф-ции удовлетворяют таким же ур-нням, но без члена с б-функцией, поэтому Г. ф. описывают влияние на корреляции мгновенных возмущений. Очевидна их аналогия с Г. ф., к-рые применяют при решении краевых задач матем. физики, описывающих влияние о-обрашюго возмущения на решение линейных днфферонц. ур-ний.
Ур-ния для Г. ф. являются точными, поэтому решение этой цепочки в общем случае чрезвычайно сложно. Однако, если в системе есть малые параметры (малая плотность или малое взаимодействие), оказывается возможным выразить высшие Г. ф. через низшие и «расцепить» цепочку для Г. ф., получив для них замкнутую систему ур-ний. Обычно это делается либо с помощью диаграммной техники, либо с помощью к.-л. аппроксимаций, напр, приближения случайных фаз.
Для временных корреляц. ф-ций удобны спектральные представления:
ее
<В (t'} Л (/)>-- (2л) -J \
bJ
гДе JBA (ю) ≈спектральная плотность временных корреляц. ф-ций. Отсюда можно получить спектральные представления для Г. ф. н построить также единую аналнтпч. ф-цию в комплексной плоскости о». к -рая в верхней полуплоскости совпадает с запаздывающей Г. ф., а в нижней ≈ с опережающей* Такая Г. ф. очень удобна для приложении, с е╦ помощью можно найти спектральную плотность временных корреляц. ф-ций /нд (to) через скачок Г. ф, на
действие оси: Gf(o--ie) ≈ G (со ≈ /e)= (Л)~1 (e^lkr ≈
≈ TlUfln <<*>). t'≈≈ 0.
Спектральные представления для температурных Г. ф. можно получить, если продолжить их периодически на все значения т вне интервала (0, р ≈ I/ft?1)
и разложить в ряд Фурье О (t) = kT е~Шп*0 (оэп),
п
где
fl ≈ Р
для
ферми-частпц л о)└--2пя/Р для бозе-частиц. Фурье-компоненты G (u>,j определены лишь для дискретных ш└, но их можно аналитически продолжить на нее ш и получить тем самым временные корреляц. ф-ции.
Особенно важныодйОчастичныеГ. ф., в к-рых Л=ф(л), В- ty+ (x'}\\ вещественная и мнимая части полюса этих Г. ф. в комплексной плоскости со определяют спектр и затухание элементарных возбуждений системы мн. частиц. Ур-ния движения для одночастичных Г. ф. связывают их с двухчастичными Г- ф., в к-рых А ~
= ty (xi) "Ф+ (^2), B ≈ ty (^i) 4>+ (x'z). Эти Г, ф. применяют в теории неравновесных процессов. Г. ф. используют также в статистич. механике классич. систем. В этом случае надо заменить квантовые скобки Пуассона на классические {Л, В], а представление Гейзенберга ≈ на A (t)=^eiL^A, где оператор Лиувилля L определяется равенством iLA = {A, ffl].
Г* Ф' удобны в статистич. физике равновесных cucieM для вычисления термодинамич. ф-ций и спектров элементарных возбуждений. Они находят применение также н в теории необратимых процессов, т. к. Грина ≈ Кубо формулы для кинетич, коэф. можно
выразить через Г. ф.
Лит,; 3 у б а р е в Д. Н., Двухвременные функции Грина в статистической физике, «УФН», 1960, т. 71, с. 71; Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Д з я л о ш и н с к и и И, К., Методы квантовой теории поля в статистической физике, М., 1962; Т я б л и к о в С. В., Методы квантовой теории магнетизма, 2 над., M.t 1975; Маттук Р. -Д., Фейшиановские
")
}
