|
|
келя; G9 (х, х'} = ≈ (4л | х≈ х' \\}~l exp (ik \\ х ≈ х' |) при п =-3.
5. Волновое ур-ние: L ~( ]а ~d~!dt2≈ -а2Д»
|) при я = 1, С0 (*, Г) =
= (2па)~1 0 (t) 6 (a2/*≈ | x|-) при л = 3, для упрощения принято г' = ?' = 0. Полученная Г. ф. ыаз. запаздывающей. поскольку она обращается в нуль при t≈ t' < 0. Подставляя Г. ф, в (3), получил! решение неоднородного волнового ур-ния в виде
и
= (aV4.i) Г dx1 \\x- x'\\~l f(xf, t- a~1\x
носящем в электродинамике назв. запаздывающего потенциала.
6. У р - п и о К л 9ii н а- Гордона: /. ≈ ПЛ4-'Л31
" "
2)
где /i ≈ф-ция Бссселн. Полученная Г. ф. также наз. запаздывающей.
Г. ф, играет важную роль также в задачах о спектре дифференц. операторов. Если самосопряж╦нный оператор L имеет Г. ф., то задача на собств, значения Ли ≈ =/.ii эквивалентна интегральному ур-нию и (х) ≈
(.г, х') u(x'}dx', к к-рому можно применить ТРО-
риго Фредгольма. Задача Lu=Ku имеет не более сч╦т-лого числа собств. значений Аг, Х,2т АЗ, . . . , все А/ вещественны и не имеют конечных точек сгущения. Если комплексное число л не является собств. значением оператора L, то можно построить Г. ф. G(x, x'\\ А) оператора L≈KI, где / ≈ единичный оператор. Ф-цня G(xt x'\\ А), наз. резольвентой оператора L, является м е р о-м о р ф п о и ф у н к ц и с и параметра X, прич╦м е╦ полюсами служат собств. значения оператора L. Т. о.т спектр оператора L можно найти, изучая его резольвенту 6'(х, х'\\ X).
При изучении систем ур-ний Z/a=/ роль Г. ф. играют т. н. матрицы. Грина. Они позволяют выразить решение неоднородной краевой задачи для системы в виде интегралов от произведении матрицы Грина па векторы правой части системы. Для подобных задач полезен интеграл Д ю а м е л я. Напр., частное решение неоднородной системы а' = Л (.r)H-j-/'T(,f), где и н У ≈ л-компонеитныс векторы, А (х} ≈ квадратная матрица порядка п, записывают в виде а(х) =
= \\ tv(x, $)d$, где /с (.т, s) ≈ решение однородной си-
J З-о
стемы w'-≈A(x}w, и>(х, s}\\x=s ≈ F(s). Матрица А (х) может содержать дифференц. операторы, поэтому метод применим к ур-ниям с частными производными.
Лит.: Морс Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики, пер. с англ-., т. 1, М,, 1958; Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981. Л. П. Купцов.
ГРИНА ФУНКЦИЯ в квантовой теории поля ≈ одна из осн. величии, определяющих движение частиц и состояние нолей; представляет собой среднее по вакууму от хронологического произведения операторов полей. По своему смыслу понятие Г. ф. в квантовой теории поля (КТП) близко к понятию Г. ф, в матем. физике и используется в тех же целях ≈ как вспомогат. величина при расч╦тах физ. характеристик и решении ур-ний при заданных источниках.
В квантовой механике частицы волновая ф-ция 1|з (х) определяется ур-нием вида L(x)ty(x)=0, где L(x) ≈ нек-рый оператор, х ≈ точка пространства-времени. Здесь Г. ф. G(x, х'} определяется ур-нием L (x)G(x4 x'}^ = 6(#≈х'} [где б(;г≈х') ≈ дельта-функция] и, следовательно, имеет точно такой же смысл, как в матем. физике, В КТП волновую ф-цию частицы заменяет величина ы.(з:)|0>, где и (х} ≈ оператор поля, [0> ≈ вектор состояния вакуума. Для свободных полей о д-н о ч а с т и ч н а я (двухточечная) Г, ф.т наз.
иначе ф-ц ней распространения или п р о-н а г а т о р о м»
1)с(я^-а:')--<0 \Ти(х)и(х')\\Оу (1)
(гдо Т ≈ знак хронология, упорядочения, а скобки: <0[. . ,}0> означают усреднение по вакууму), является Г. ф. неоднородного ур-пия поля, т. с. удовлетворяет ур-нию с точечным источником. Напр., для скалярного ноля пропагатор удовлетворяет неоднородному Клейка ≈ Гордона уравнению
(П ≈ W2} Ос (х) = ≈ б (л:) (2)
(П ≈ Д'Аламбера оператор^ т ≈ масса кванта поля; используется система единиц Л≈с≈1).
С физ. точки зрения, ф-ция Dc (х≈х'} ≈ т. н. ц р и-ч и иная функция Грина ≈ описывает причинную связь процессов рождения и уничтожения частицы в разл. точках х, х .
Полное решение ур-пия (2) представляется в виде частного решения неоднородного ур-ния и общего решения однородного ур-ния. Решением однородного ур-ния являются т. н. перестановочная функция Паули ≈
Иордана D (х] и е╦ частотные компоненты D^(x]. К частным решениям неоднородного ур-ния (2), помимо введ╦нной выше причинной (индекс с) Г. ф., относятся известные из классич. теории взаимодействующих нолей запаздывающая (ret) к опережающая (adv) Г, ф. С помощью фурье-лреобразо-вания получаются след, представления для Г. ф. скалярного поля:
.,.,.,, ≈ <о | s | o> "
Здесь ui(xi) ≈ операторы полей во взаимодействия преде тавлениич S ≈ матрица рассеяния, В перенормированной теории, возмущений Г. ф, (3) содержат все радиационные поправки, соответствующие как связным, так и несвязным диаграммам Фсйнмана с п внеш. линиями, и представляются в виде степенного ряда по константе взаимодействия [при этом все вакуумные вклады, пропорциональные <G|S|0>, факторизуютея и сокращаются со знаменателем в (3)]. Такие Г. ф. наз, полными функциями Грина.
Важными величинами являются также т. н. с в я з-н ые и сильносвязные (или одночастично неприводимые) Г. ф,, представляющие собой сумму соответственно связных и сильносвязных диаграмм Фейимана. Пример сильносвязной Г. ф.≈ вершинная часть. Связные и сильносвянные Г. ф. входят в систему Дайсона уравнений.
Полные Г. ф. могут быть также определены через функциональный интеграл', такое определение особенно полезно при квантовании калибровочных полей.
Лит, ' Ахиезер А. И., БСреСтсцкий В. Б., Квантовая электродинамика, 4 изд., М., 1981; Боголюбов II. Н., HI и р к о в Д. В., Квантовые поля, М., 1980.
Д. И.
где fr≈ 4-иьшульс виртуальной частицы. Бесконечно малая добавка в знаменателе этих выражении определяет правила обхода полюсов в точке А2≈ т2 при интегрировании в комплексной плоскости энергии &0 и однозначно зада╦т данную Г. ф.
Причинные Г. ф. спипорного и векторного полей могут быть выражены через причинную Г. ф. скалярного поля действием дифференц. операторов, стоящих в ур-ииях для соответствующих свободных полей,
Г. ф. свободных полей являются одним из основных составных элементов Фейпмана диаграмм.
Обобщением свободных одиочастичных Г. ф. на случай наличия взаимодействия являются многочастичные, или я-т очечные, Г. ф.
X
О.
537
")
}
