1tom - 0480.htm
vrua также ф-ла, выведенная Дж. Грином (G. Gre1828:
v
s
где V ≈ тр╦хмерная область, S ≈ е╦ граница, Д ≈ Лапласа оператор, д/дп ≈ производная по направлению внеш, нормали к S. Эта ф-ла справедлива и в k-мерном пространстве, существуют также обобщения е╦ ira случай произвольных линейных дифференц. one-раторов. При помощи Г. ф. получают интегр. представления для решений разл. краевых задач.
В. ╧. Алхимов.
ГРИНА ФУНКЦИЯ линейного дифференциального оператора L (линейного дифференц. ур-ния Lu(x)≈f(x)} ≈ функция G(x, #'), задающая ядро кнтегр, оператора, обратного к L. Поскольку ядром единичного оператора является Оелъта-фуищия b(x≈x')i Г. ф., трактуемая как обобщ╦нная ф-цня, удовлетворяет ур-нию
Lr> /≥ т'\\ ∙≈ f\\ (т __ vr\ щя\\^т I -л! | j' t ^^≈ \\j I ^^- <д- f +
Всякое решение ур-пия (1) пая. фундаментальным решение м исходного дифференц. ур-ния; следовательно, Г. ф.≈ также лск-рос фуидам. решение. Из (1) следует, что при х=£х' Г. ф. удовлетворяет однородному ур-нию LXG=Q. Решение неоднородного ур-ния
Lu (х} ≈ / (х)
определяется интегралом
G (x,
^-- (
(2)
(3)
Г. ф. С(.т, л;') представляет собой «отклик» в точке х системы^ описываемой дифференц. ур-лием, на единичный точечный источник, помещенный в точку х'. По этой причине Г. ф. часто паз. также ф-цией источника. Для самосопряж╦нного оператора L Г. ф. G(x, х') удовлетворяет соотношении) взаимности G(x, x')=--G*(xf, х) (* означает комплексное сопряжение), т. е. отклик в точке х на точечное возмущение в х' равен отклику в х' па точечное возмущение в х. Впервые Г. ф. введена Дж. Грином (G. Green) в 1828. Г. ф.≈ существенная часть матом, аппарата совр. физики, Интегр. соотношение (3), заменяющее циффереиц. ур-пне (2), позволяет представить поле, созданное покрои системой источников, в виде суперпозиции вкладов отдельных точечных источников; оно удобно для построения теории возмущошш и т. н.
Чтобы задать дифференц. оператор L, нужно, кроме операции дифференцирования, определить ещ╦ класс ф-ций, на к-рые действует эта операция. Ограничения на ф-цни диктуются физ. постановкой задачи и выступают обычно в виде ник-рого числа краевых условий, к-рым подчинены ф-ции и(х]. Г. ф. днфферснц. оператора паз. также Г. ф. соответствующей краевой задачи. Г. ф. С (а-, х'} краевой задачи удовлетворяет краевым условиям по х при любом фиксированном х'. Поэтому если С0 (-г, х'} ≈ любое фундам. решение ур-ния (не обязательно удовлетворяющее краевым условиям), то Г. ф. 6'(.г, х'} представляется в виде суммы:
G(r, х') = Съ(х, a:')+£(*. У), (4)
где£(.г, х') ≈ решение однородного ур-пия Lx^(x, х') = ≈ О, выбранное так, чтобы ф-цня 6т(.г, х'} удовлетворяла заданным краевым условиям. Построить Г, ф. в явном виде удается в сравнительно небольшом числе случаев для нек-рых видов областей.
Ниже даны примеры конкретных Г. ф.
1. О б ы к н о в е п н о е дифференц. у р -н и е на
п
отрезке а^х^Ь. Пусть £= 2 РА (л') d*/cfc:*, а крае-
д' = 0 вые условия представляют собой п линейных соотно-
тений между значениями u(^ (a) \\i uW (b], 0 ^ i, /^ s^n ≈ 1, младших производных ф-цич и (х} на концах отрезка. Тогда Г. ф., удовлетворяя при каждом х' краевым условиям но х и при х ф. х ≈однородному ур-пию LXG (.r, дг') = 0, должна иметь в точке # ≈#' непрерывные производные вплоть до (п ≈ 2)-й и разрывную (п≈ 1)-ю производную, прич╦м скачок в этой точке равен
а"^г G(,r'-hOX)≈ й"~1 '"' п -"* {
Эти требования, дополненные егтеств. предположениями о гладкости по переменным #, х' при х ?= x't определяют G (х, х'}. Напр., дифференц. оператор 2-го порядка L ≈ -р ( р (х) ≈ ) -J- q (х) с краевыми условиями
и(а) ≈ и(Ь) ≈ 0 имеет Г. ф., равную
G(x,
(,r) и2 f.r') при a-s^x^r'
w
X
где iv(x) = tti (x) Hz (x)~- г/а f.r) щ (г), a ut и и2 ≈к. -л* линейно независимые решения ур-ния LM ≈ 0, удовлетворяющие условиям и^ (а} = uz (b) ^O. 2. У р - н и е Л а п л а с а. Пусть х --- (х±, я-%, .... я.,.),
| х =(xi-\\-...-\\- х*У-'г , а Л - dz;dxl + . . . +д-;д*1 ∙ с])ун-дам. решением ур-ния Лапласа Aw (я)--О служит ф-ция
Г (г
0 ^ '
Х
\
х≈ х
Г (п) гамма-функция Ойлера.
Б практически важном случае тр╦хмерного пространства ф-ция G0 (х, х'} равна ≈14я|.г≈ х' . Согласно ф-ле (4), Г. ф. разл. красных задач для ур-ния Лапласа получают, добавляя к Gn (х, х') подходящую гармоническую функцию, обеспечивающую кьшолненне краелых условии. Напр., при п = 3 для тиара х | < R задаче
.,_ и ≈ 0 отвечает
≈ f (х) с краевым условием и (х) Г. ф.
где x' = R-x'/\\xf a ≈ точка, симметричная точке х' относительно сферы \x\\-JL Аналогичной краской yaflaqe для полупространства ,х3 > 0, т. о. краевому условию
и (х) \\х = о г~О отвечает Г. ф. вида G (х. х') -≈ ≈ ^-х
-5ч J '
где точка ж слмметрпчла точ-
2т -гз) относительно плоскости jfg~-0, т. е. я' ≈(ari, а-2, ≈ д-3). Г. ф. в атих двух случаях представляет собой потенциал точечного заряда, помещенного в точку х' внутри заземл╦нной проводящей сферы (1-й случай) или в присутствии заземл╦нной проводящей плоскости (2-й случаи). При п = 2 Г. ф. Дирихле задачи для односвязшш области с достаточно гладкой границей имеет вид
w (z) -w (z1)
G(z,
1 -w
и;41 (г')
Здесь w = w (z} ≈ нек-рая ф-цпя аргумента г ≈ ^-[-w^i конформпо отображающая область на единичный- круг 1 ОУ I < 1.
В след, примерах приводятся только фундам. решения GO (#, х')+ связанные с Г. ф. соотношением (4).
3. У р - н п е теплопроводности: L =∙∙ d;dt ≈
и ^' i'\\ _ д i -t t'\\ , X , 7 ) - U (t ≈ I )
Хехр Г≈ 4fl' ("<
ГДС
(t-nrni*x
ступенчатая ф-ция:
(.г)---0 при х < 0, 6(.г) = 1 при х > 0.
4. Ур-нпе Гельмгольца: L≈Л-!-Л2, G0 (.г, х'} =
- (2ik)~1 exp (ik \\х ≈ х' |) при л ≈ 1; Git (,r, х'} =
-∙≈ ^- //о1' (k | х≈х' J) при п^ 2, где /УоЪ≈ ф-цпя Хан-
")
}
