1tom - 0422.htm
479
Исследование процессов, в течение к-рых оси рот» ров Г. совершают нутации, и решение вопросов устойчивости гироскопич. систем требуют уч╦та кипетич. моментов всех тел, входящих в состав гироскопич. системы. Соответствующие ур-ния движения являются ур- ниями нутац. теории Г. Дифференц. ур-ния иутац. теории имстот для данной гироскопич. системы более высокий порядок, чем ур-нил прецессионного движения. Однако решение аадач нутац. теории упрощается том обстоятельством, что во мн. случаях можно ограничиться рассмотрением малых движений методами теории малых колебаний,
Строке ур-ния движения Г. справедливы по отношению к иисрциалыюй системе отсч╦та, однако на практике движение гироскопич. систем приходится изучать по отношению к осям, связанным с тем подвижным объектом (судно, самол╦т, ракета, Земля и др.)> ил К-ром эти системы установлены. Поэтому при составле. нии ур,нпй в число действующих сил надлежит включать также переносные и Кориолиса силы инерции, обусловленные перемещением объекта. Оказывается, что удобнее всего составлять ур.нмя движения Г. по отношению к системе координат О £* т|* £* с началом в центре О подвеса гироскопич. системы и с осями, не изменяющими своей ориентации относительно направлений на неподвижные зв╦зды, т. е. перемещающимися по отношению к инерциалыюй системе отсч╦та поступательно. В этом случае кориолисовы силы инерции вообще отсутствуют, а все силы инерции переносного движения антипараллельны ускорению центра О в его движении относительно инерциалыюй. системы отсч╦та.
В теории Г. с достаточным для практики приближением можно за инерциальную систему отсч╦та принять невращающуюся систему координат с началом в центре Земли. Точно так же малая погрешность при подсч╦те сил инерции переносного движения происходит, если за ускорение центра О подвижной невращающейся системы координат g*T|*£* принять его ускорение относительно земной поверхности. В этом случае вместо действующих на массы частей гироскопич, системы сил тяготения к Земле следует брать силы тяжести. Для
составления ур- ни и движения Г, введ╦м ещ╦ систему осей О xy'z с началом в той
*f
же точке О, что и у системы О £*т]*£* (точка О лежит где-то на оси симметрии ротора, напр. в центре его подвеса). Ось г' системы совпадает с осью симметрии ротора, но сама система Ox'y'z' не вращается вместе с ротором, будучи связанной, напр., с кожухом Г. Тогда
Рис. 5. Приложение теоремы механики системы о кинетическом моменте к установлению урав-
т]* нения прецессионного движения ротора гироскопа. Скорость конца вектора собственного кинетического момента принимается
у' геометрически равной главному моменту совокупности сил, приложенных к ротору.
Они выражают (рис. 5) равенство (по числ. величине и направлению) скорости конца вектора собственного ккпетич. момента -Ни гл. момента Ж0 относительно центра О сил, приложенных к ротору, Б число этих сил должны быть включены переносные силы инерции, обусловленные поступат. движением системы отсч╦та О £*Г|*£*. Величины <иХ' и %/ ≈ проекции на оси х и у' угловой скорости системы координат Ox'y'z' относительно системы 0£*п*£*, т. е. относительно направлений на неподвижные зв╦зды. Угловую скорость ротора относительно осей Ox'y'z' можно наз. угловой скоростью его собств. вращения. Вектор jN направлен по оси собств. вращения (рис. 6) ротора z', а его модуль можно принять равным
®
где С ≈ момент инерции ротора относительно его оси симметрии z' (полярный момент инерции), ф ≈ угол поворота ротора относительно системы координат
x'y'z', Принимается также, что -^ значительно превышает величину a)V ≈ проекцию угловой скорости системы координат на е╦ же ось (на практике на 3≈4 порядка), В большинстве случаев И можно считать постоянным, т. к. обычно моменты сил, вращающих ротор, и моменты сопротивления этому вращению взаимно уравновешиваются. Соответственно, в 3-м из ур-ний (4) следует положить М2'≈$.
Более строгими ур-ниями движения ротора являются ур-ния, соответствующие нутац. теории Г., а именно;
Ad^f+(C-A) co;,o>;,-[-со' Я = Мх,,
dt
(6)
dt
со
2'
ур-ния прецессионного движения ротора, симметричного Г. относительно осей О |*т]*£*, проекциях на оси Ox'y'z', имеют вид
записанные в
dH
dt
где А ≈ момент инерции ротора относительно к.-л. оси, перпендикулярной его оси симметрии и проходящей через центр О (экваториальный момент инерции). Б ур-ниях (6), в отличие от г;с ур-ний (4), принято, что система координат x'y'z' может иметь угловую скорость с произвольной составляющей o/z' вдоль оси симметрии ротора z'. В частности, эту систему можно связать с
Рис. 6. Вектор собственного кинетического момента гироскопа. Система координат аЬс сиязана с ротором гироскопа; она вращается относительно системы x'y'z' с угловой скоростью dy/dt вокруг оси z', совпадающей с осью с. Момент инерции ротора относительно оси с (оси симметрии или оси собственного вращения) обозначен через С.
самим ротором. Тогда ур-ния обращаются в общеизвестные ур-ния Эйлера движения тв╦рдого осесим-метричнОГО тела (см. Эйлера динамические уравнения}^ осложн╦нные наличием в правых частях упоминавшихся выше переносных сил инерции.
Ур-ния (4) и (6) пригодны для изучения движения ротора Г., не стесн╦нного кардановым подвесом, напр, в случае шарового Г. (см. ниже), и вообще свободных тел (снаряд, небесные тела, искусств, спутники, кос-мич. корабли). При наличии же карданова подвеса в состав сил, образующих моменты относительно осей х' и у', т. е. в выражения для Мх> и М^', войдут неизвестные силы ≈ нормальные реакции подшипников оси ротора. Для исключения этих сил, представляющих
U
о
о.
")
}
