|
|
<
a
основано, напр., выделение физ. степеней свободы в калибровочных теориях.
Одним па гл, орудий анализа и конкретных расч╦тов в Г. п, служат ортонормированныо базисы (ОБ). Набор {?«}, а£А элементов Г. п. $( (Л ≈ произвольное-, не обязательно сч╦тное, множество индексов) наз. ортонормирование и системой, если (еа, *р)'≈ бар! гДе символ Кронекера бар равен i при а- --$ и П при а Ф fL Эта система наз. полной (или замкнутой), если любой вектор, ортогональный ко всем еа, &£^, равен 0. Всякая полная ортонормированная система наз. ОБ в #f. Примеры ОБ: 1) система триго-нометрич. ф-ций {exp (2mnt), п ≈ 0, ±1, ±2, . . .} в L'2 (0, 1}; 2) система полиномов Лежапдра Р,{ (х) (см. Ортогииалълые полиномы) в L^ ( ≈ 1, 1); 3) система пОли-номов Лагсрра Ln(x) в L2 ([0, оо), е~х dx)\\ 4) система полиномов Эрмита Н└(х) в Л2 (( ≈ оот оо), e~xZdx). Во всяком Г. п. существует ОБ, все ОБ данного Г. п. равномощны, и их мощность равна размерности ,^f; в частности, ffl является сепарабелъным тогда и только тогда, когда в н╦м существует сч╦тный ОБ. Осн. свой-
обладает одно-
при
ство ОБ {(-«}, а£Л; любой вектор & значным разложением в виде з:≈
А
и
Л
Последнее равенство паз. р а в с п с т в о и Пар-сева л я, а также, с уч╦том его очевидной геом. интерпретации, теоремой Пифагора; числовые множители Со, паз. к<юф. Фурье вектора х в ОБ [еа }. Простота и удобство ОБ сделали их общепринятыми в физ. приложениях, поэтому в физике предпочтительны сонара-белыные Г. н., для к-рых существует стандартный метод построения ОБ из произвольной системы линейно не-нависпмых векторов ы1, и% ,. . ., имеющей плотную в fff линейную оболочку. Данный метод паз. процессом о р т о г о п а л 11 з а ц и к Грама ≈ Шмидта и
состоит в рекурсивном построении ОБ {е^=\ из иекто-рои и,- с помощью всномогат. системы {с/},определяемой ф-ламп:
/1-1
vn = и└
векторами искомого ОБ тогда будут e! = Uf/\\\\v{-\\\\1 прич╦м дли любого л≈1, 2,,.. линейные оболочки наборов (е1ч . . ., efl) и {MU . . ., ип} совпадают между собой. Указанный процесс служит обычным способом построения ортонормироваиных систем ф-ций; в частности, исо ортогональные полиномы в примерах 2≈4 получаются пут╦м ортогонализации системы одночленов 1, х, хй, ... в соответствующих Г. п.
Применения Г. п. В матем. и физ. приложениях возникают ра;*л. классы пространств, являющихся
обобщениями Г. п.: 1) пространства 1Р и Lp, p^=
^ь 1. Пространство 1Р ≈ совокупность всех числовых последовательностей x = {xfi], удовлетворяющих у ело-
вию:
xti \\р < °°- Это линейное нормированное про-
= \
странство с нормой \\\х \\ =
сь
х,
,V"
совокупность всех комплекс позначных ф-ций, суммируемых с р-й степенью на промежутке [а, Ь], есть также линейное нормированное пространство с нормой jj / | =
≈ \\ I / (х) \\р dx \\ (ф-цнн, совпадающие между собой
почти всюду по мере Лебега на [и, i], отождествляются). Осп. область применений отих пространств составляют ур-ння матем. физики, 2) Пространства с индефинитной метрикой, со скалярным произведением <-г, (/>, не
удовлетиоряющим, вообще говоря, аксиомам 1 и 4. В конечномерном случае такие пространства наз. п с е в-д о е в к л и д о в ы м и, к их числу принадлежит, в частности, Минковского пространство-время без уч╦та кривизны. В бесконечномерном случае наиб, важный класс пространств с индефинитной метрикой образуют т, к, /-п ространства, или пространства Крей-на. В них, наряду с индефинитным скалярным произведением <Х #>, действует также обычное скалярное произведение {х, у), но отношению к к-рому каждое такое пространство ,"^jf является Г. п.; оба произведения связаны между собой посредством т. н. м е т р и ч. оператора, или оператора Грама J; <-т, #> ≈ (ж, Jy] для всех £, y£ffl\\ J ≈ P^ ≈ P^j где Р.,. ≈ проекционные операторы и ,yjjf, такие, что Р+-\\-Р_.≈ 1 (I≈единичный оператор). Пространства Крейна применяют в механике и в ряде моделей квантовой теории ноля; они используются для строгой формулировки калибровочной квантовой теории поля. 3) Оснащ╦нные Г. п. (ОГП) представляют собой расширения Г. п. ,y£f, включающие не содержащиеся в $g элементы и получаемые с помощью выделения плотного линейного подмножества Q в Г. п. (любой элемент из ffi является пределом последовательности элементов из Q). Подмножество Q можно наделить сноей топологией, более сильной, чем топология ,yjf, и определить сопряж╦нное токолоптч. пространство Q*; поскольку из & С :7{. следует, что i>*Z3 .^*. а $%* ≈ &( (с точностью до изоморфизма), получается конструкция из 3 пространств ≈ триплет Q ci $(. d И*, к-ры!1 и носит назв. ОГП, Введение расширенного пространства Q* ≈ стандартный при╦м при рассмотрении неограниченных операторов и операторов с непрерывным спектром. Поскольку такие операторы типичны для физ. задач (напр., операторы координаты и импульса), то ОГП находят применение во мн. областях физики. Одна из таких областей ≈ аксиоматич. квантовая теория поля, ВРСЬ формализм к-poii можно развить исходя из ОГП S (R4) с L2 (R4) aS*(R*), где 5 ≈пространство осн. ф-дни Шварца, а *$'* ≈ сопряж╦нное к нему пространство обобщ╦нных функций умеренного роста.
Сфера применений Г. п. в coup, физике почти необозрима, Г. п.≈ центральный матем. объект, лежащий в основе всего аппарата квантовой финики. Представление множества состояний физ. слс-тсмы с помощью Г. п. есть фупдам. элемент матем. структуры в самом широком спектре физ. теорий: квантовой механике, квантовой статистич. физике, класспч. п квантовой теории ноля; оно является возможным также и в класснч. механике. Такой же универсальностью обладает и представление наблюдаемых фиа. систем с помощью самосопряженных операторов в Г. п. Наиб, тесная СВЯУЬ, достигающая почти полного сращивания между физ. и матем. исследованием, сложилась между аппаратом Г. п. и квантовой механикой. Наконец, широкие и разнообразные применения Г. п. находит при изучении ур-шш матем. физики, описывающих разл. физ. процессы.
Лит.: А х и в з е f) II. Н., Г л а ,ч м а н И. М., Теория линейных операторов п гильбертоном пространстве, 2 шд,, М., 19til>: М о р (; л К., Методы ги.пьбгртовп пространства, пер. с польск., М., 1Ш>Г); X а .:) м о ш Л., Гильбертопп пространство в задачах, нор. с англ,, М., 1070; Р и х т м а и с, р V., Пршшипы современной математической физики, пер. с англ , т. 1, М., 1982. С. С. Харузкип.
ГИНЗБУРГА ЧИСЛО ≈ безразмерная постоянная, характеризующая интеисинность тешюлых флуктуации параметра порядка при фазовом переходе 2-го рода. Назв. по имени В. Л. Гинзбурга. Г. ч. можно выразить через радиус взаимодействия частиц в системе г0 и характерную величину радиуса корреляции ге вдали от точки поре.хода: Gi& (rjrc)9. Г. ч. определяет область применимости Ландау тенрии фазовых переходов 2-го рода: Ci-^\\(T≈Tc)/Tc\^i, где Т ≈ темп-ра, Тс ≈ критич. тсип-ра. Для существования области применимости теории Ландау необходимо исполнение условия 67-с!, Это условие выполняется для сверх-
")
}
