1tom - 0409.htm
467
Наиб, общая формулировка Г. п. да╦тся на языке обобщ╦нных функций. Для преобразований Фурье / (X) =
= \\ dxf (х) охр (iKx), g (К) = V dxg (х) exp (iKx) от ф-ций
/ (x),g (я) Г. п. переходит в оператор умножения: g (Я) =
= г sign {>,) / (X). Существует обратное преобразование, к-рое вместе с прямым образует пару Г. п.
2) Пространство £2 (л, uj ≈совокупность всех ком-плекснозначных ф-ций, интегрируемых с квадратом на промежутке [а, 6] вещественной оси. Скалярное произведение ф-ций /, g из Lz (а, Ь) зада╦тся ф-лой (/, g) =
с ь
= \\ / (х) В* (х] &х- Обобщением на случай а ≈ ≈ со,
а
CO
/ (*> I
эквивалентную ф-лам
я
≈ 00
(1)
/<*-о \\
-*<*-*> Г
(2)
Г, и. рассАгатрнвают также в иной форме:
(3)
предполагается, что / (*) удовлетворяет условию л
rf/ / ш ≈ Qs тогда тем же свойством обладает g (х).
≈ it
( ≈ X
Ф-цию (г ≈ р)"1 наз. ядром Коши, а ф-цию ctg-r,≈ ≈
ядром Гильберта. Вещественная и мнимая части ана-литич, ф-ции, не имеющей особенностей в верх, полуплоскости и достаточно быстро убывающей на бесконечности, связаны Г. п. (1); в этом случае оно носит ваяв, дисперсионного соотношения. Г. п. применяют при описании волновых процессов в диспергирующих средах в оптике, эл,-динамике, акустике, гидро- и аэродинамике, сейсмологии, а также в квантовой теории поля. Лит.: Т р и к о м н Ф., Интегральные уравнения, пер. с англ., М-, 1%(J; 3 е м а н я н А. Г., Интегральные преобразования обобщенных функций, пер. с англ., М., 1974.
А. И. Опсак.
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ≈ комплексное векторное пространство^ являющееся бесконечномерным полным евклидовым пространством. Это означает, что Г. п, $( есть множество элементов, на к-рои, помимо операций векторного пространства (сложения н умножения на число), задана также комплексиозначная ф-ция от пары аргументов х> у из $£, обозначаемая (х, у) и удовлетворяющая след, условиям (аксиомам): 1) (х, х)^0; (х, х) ≈ 0 лишь при ж=0; 2) (дг, #+*)= (я, у)-{~
+ / \\*"J\\/ \ t \\ ^* 4Г*^ "I / \\ / Ч / >dt
I Т Т 1 ~\\ I I "Т* гг 11 \\ ~^^^ if I i~ 11 \\ it ^^ [[ ^ /1 1 I т* 1/т '""' III *f 1т*
1Л. iiJ. OI \^щ ╧и) ≈≈ UL 1J . WJ. tA^^ly , *±1 (J-, и J ≈≈ 1*7* J, I .
Ч* /' г \\ 1 *J f \\iJFr ^^ * / \\ I *T f \if J ft
*означает комплексное сопряжение (иногда рассматривают вещественные Г, п., к-рые являются векторными пространствами над полем R1 и удовлетворяют аксиоме 3 с a^R1). Ф-ция (х, у) наз. скалярным или внутренним произведением. В силу ак-сиомы 1 на $g также определена неотрицат. ф-ция \\\х\\ =
≈ ]/^(зг, х)) к-рая обладает всеми свойствами нормы на векторном пространстве; по отношению к ней ffi явля-
Ь ≈ со является пространство L2 (R1).
3) Пространство £а (R1, dp,) ≈ совокупность всех ком-плекснозыачных ф-ций /, интегрируемых с кладратом на R1 по нек-рой мере \i. Скалярное произведение за-
да╦тся ф-лоп (/, g) = \\ / (х) g* (х) dp, (х). Примеры 2 и 3
описывают собственные ф-ции одномерного ур-ния Шр╦-дингера, собственные ф-ции краевых задач в методе разделения переменных и т. д.
4) Пространство $£ (D) ≈ совокупность всех аналитич. ф-ций в единичном круге D комплексной плоскости. Скалярное произведение зада╦тся ф-лой (/, g) =
z ≈x-\\-ig. Понятие Г. п. возникло
\ \\ /(z) 8* (2) D
в нач. 20 в. в осн. благодаря работам Д. Гильберта. Нередко (напр., при квантовании эл.-магн. поля) приходится рассматривать пространства, к-рые не являются полными в смысле сходимости но норме |] || и (или) допускают равенство (х, х) = () для нек-рых х=£0. Каждое такое пространство наз. предгильбертовым; существует стандартная процедур3 т позволяющая достроить его до обычного Г. п. Важный подкласс составляют сепарабельныеГ. п., размерность к-рых (в смысле векторных пространств) равна мощности сч╦тного множества. Данный подкласс весьма широк (в частности, все Г. п. в примерах 1 ≈ 4 сепарабельны; все подпространства сепарабсльного-Г. п. сепарабельны) и является основным для фиа. приложений: в большинстве физ. моделей число состояний сч╦тно. Любые 2 сепарабельиых Г. п. изоморфны. между собой, что позволяет выбрать удобную для физ. интерпретации форму. (Изоморфизм Г. п. $(i и ,^f2 определяется как взаимно однояначнос соответстшге, сохраняющее линейные соотношения в Ж\\^Жч и скалярное произведение.) Как всякому толологич. векторному пространству Г. п. $( сопоставляется сопряж╦нное
векторное пространство ,$jf* линейных непрерывных
ется нормированным и банаховым (т. о. полным нормированным) пространством.
Данное определение соответствует т. н. абстрактному Г. п.; выбирая в качестве элементов $( последовательности, ф-ции или операторы определ╦нных типов, получают разл. классы конкретных Г. п. Примеры: 1) пространство J2 ≈ совокупность всех последовательностей х ≈ {хп}, где хп ≈ комплексные числа, удовлетворяющие
OD
условию: 2 I xn I2 ^ °°* Умножение на число, сложе-
«=i нив и скалярное произведение задаются ф-лами: ах =
≈ {а,х,); х-\\-у^{х{1 -\\-у.,}] (^, у)≈ 2^«^"' ^нал°ГИ11НО
л=1
построено пространство состояний конечномерной квантовой системы в представлении вторичного квантования.
функционалов на $(\\ важное отличит, свойство Г. п. составляет теорема Рисе а, согласно к-рой $f* изоморфно ^f и для любого /(5.$f* найд╦тся единств. элемент x£ffl, такой, что f(y)≈ (х, у) для всех у^г^К-Геометрия Г. п. является непосредств. обобщением геометрии конечномерных евклидовых пространств. Как и в любом евклидовом пространстве^ в Г. п. имеют место 2 фундам. соотношения; неравенство Ко-ш и ≈ Б у н я к о в с к о г о ≈ Ш в а р ц а \ (х, у)\\^ ^\\\\х\\\\ \\\\у\\ и т о ж д о с т в о параллелограмма ||л:+у||а+||я:-1,||«=2 ИЧ-2 |Ы2 для любых ^ У ┬ УЙ* (последней свойство является необходимым и достаточным критерием, выделяющим евклидовы пространства в классе нормированных пространств). Обширный спектр геом. свойств связан с отношением ортогональности: 2 вектора х^ у£$( (или 2 множества 717", Ndffl) наз. взаимно ортогональными, если (х, #)=(> [или соответственно (zt w) ≈ 0 для всех z£M,w£N]. Для каждого подпространства Л/c^^f множество всех векторов из $( , ортогональных к М т образует подпрост-
ранство М-1-, наз. ортогональным дополнением М и обладающее тем свойством, что MQ}
@М^ ≈ $( (@ обозначает прямую сумму подпространств векторного пространства, в случае Г. п. отличающуюся тем дополнит, свойством, что элементы этой суммы взаимно ортогональны). Размерность М равна
коразмерности М^, М-^-^ = М. Каждый вектор %£,$£ можно однозначно представить в виде x=-z-\\-w, где
, u?£Af-L; вектор z наз. проекцией г на М. На
О
в
О
о. ш
470
")
}
