1tom - 0386.htm
< и
ш
urn..- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М,, Статистике- и определяется через с т а т и с т и ч. интеграл
скал физика, ч. 1, 3 изд., М,, 1976, § 86; МюнстерА.,Хи- у.
мическая термодинамика, пер. с нем., М., 1971; Гиббс Дж., z" └ .└, └
Термодинамика. Статистическая механика, пер. с англ., М., ^ ≈ ≈ &1 тб,
19S2. , Д. Я. Зубарев. где
ГЙББСА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ≈ равновесные распреде-
ления вероятностей пребывания систем из большого ^ 1 Р / я (р, д)\\ , ,
числа частиц в состояниях, реализуемых в разл. физ. N1 /i3jV j ех^ \\ >»т J ^* условиях. Г. р. ≈ фундам. законы статистической
физики ≈ установлены Дж. У. Гиббсом в 1901 и обоб- Распределение вероятностей для систем в термичес-
щепы Дж. фон Нейманом (J. von Neumann) в 1927 для ком и материальном контакте с термостатом и резер-
квантовой статистич. механики. вуаром частиц, т. е. для систем с переменными энергией
Для получения Г. р. вводится статистический ан- HW п числом частиц N {большой канонич. ансамбль
самблъ Гиббса: совокупность большого (в пределе бес- Гиббса), описывается большим каноническим распре-
конечно большого) числа копий данной системы (клас- делением Гиббса
сич. или квантовой), соответствующих заданным макро- m-Яд, (р, q) + \\iN~\\
скопич. условиям. Рассматривается распределение си- fN(P> з)=ехр| ≈≈≈≈ ^f ≈≈≈≈ f t
стем (членов ансамбля) в фазовом пространстве коор- _ о я
дииат q и импульсов р частиц или по квантовым состоя- гДе М- J химический потенциал, Ь2 ≈ термодинамике-
ниям всей системы. Г. р. имеют место как для состояний ский потенциал в переменных F, ^ Т, Величина Ы(У,
классич. системы с ф-цией Гамильтона Н (р, q) в фазо- (*« г) определяется из условия нормировки вероят-
вом пространстве (р, q)~ (р15. . ., pw, qit. . ., qw) всех н°сти INW, Q)'-
N частиц системы, так и для квантовых состояний Q = _ kTlnZfV, u, T),
системы с уровнями энергии 8 -t. Г. р. в классич. ста- Где тистикс зависят от координат и импульсов лишь через
Н (р, q} и не зависят от времени, удовлетворяя Лиу- ≥ _ V ^kT . Г { _ И<Р< $Л ^
вилля уравнению, к-рое выражает сохранение плотности ≥ V ∙> М-» *) ~ .Zjv ~, :^^у \ ехР V AT / Р 3 ≈
вероятности в фазовом пространстве. Г. р. в квантовой ' ^
статистике зависят от гамильтониана системы Я\\ удов- статистич, интеграл для большого канонич. ансамбля
летворяя квантовому ур-шгю Лиyвилляt выражающему Гиббса.
эволюцию во времени матрицы плотности. Совокупность систем в термич. и механич. контакте
Совокупность энергетически изолированных от ок- с окружающей средой, т. е. с переменными энергией и
ружающей среды систем с энергией g при пост, объ╦ме объ╦мом, когда постоянным поддерживается давление
V с заданным числом частиц N (микроканонич. ансамбль Р с помощью, напр., подвижного поршня (изобариче-
Гиббса) описывается микроканоническим распределе- ски ≈ изотермич. ансамбль Гиббса), описывается изо-
нием Гиббса /(р, g), согласно к-рому все состояния барно-изотермич. Г. р.
системы в узкой области энергий (А£<с£) вблизи G , ,
равновероятны (осн. гипотеза статистич. механики): fv (р, q) = ехр { ф~н ( ^' V ? ,
1(Р q)--l [И/ {S' Nt V)]~1 ПРИ S^H (Р' ?>^ + Л^' где Ф - Гиббса энергия, т. е. термодинамич. потенциал
\ 0 вне слоя Л^, в переменных У, Р, Т.
где W{£, N, V) ≈ статистический вес макроскопич. г- Р- в классич. статистич, механике являются пре-
состояния системы, т.е. число микроскопич. состояний дельными случаями Г. р. квантовой статистич. меха-
вэнергетич.слое St ╦ -ЬД^. Статистич. вес определяется ники ПРИ таких плотностях и темп-рах, когда можно
из условия, что полная вероятность пребывания системы пренебречь квантовыми эффектами. Для квантовых
в любом из возможных состояний равна единице (ус- систем Г. р. имеют такую же форму, как и для класс*
С ческих, но в них вместо Н(р, q} входит энергия 1-го
ловле нормировки вероятности): J / (р, q)dVN = i, где квантового уровня системы St. Для ансамбля замкну-
dY v-^dpdq/NWN ≈ плотность состояний, а множитель тых. энергетически изолированных систем с пост, объ╦-
ЛМ учитывает неразличимость частиц. Следовательно, мом v и полным числом частиц N имеющих одинако-
вую энергию б с точностью до Л£-с£, все квантово-W (£ N У\\ ≈ f (lp dq.r механич. состояния в слое Л£ предполагаются рав-
* ' 1 -ил * 1_О /V * * "
J N! п. ^ невероятными (осн. постулат квантовой статистич.
где интегрирование вед╦тся в пределах $^Н(р, ?)< механики). Такой микроканонич. ансамбль описывает-
*^£+Д£. Микроканонич. распределение не чувстви- ся микроканонич. распределением квантовой статисти-
тельео к выбору величины Д£ и при Д£ -^ 0 перехо- ки- Вероятность пребывания системы в 1-м состоянии
дит в распределение равна
l при *<^<
.=
к -^ j -п , л ' 1 0 вне слоя
где о ≈ дельта- функция Дирака, А ≈ постоянная, v
определяемая из условий нормировки. Здесь W(S, TV, V) ≈ статистич. вес макроскопич. сое-
Статистич. вес W(8, N, V) определяет энтропию тояния, т. е, число квантовых уровней в слое Д£. Как
системы S как ф-цию ╦', TV, V: и в классич. статистич. механике, он определяет энтро-
S ~ fcln И7 (£, N, V}. пию системы S≈k In W,
Статистич. ансамбль квантовомехапич. систем с за-
Совокупность систем в контакте с термостатом, т. е. данным числом частиц 7V при пост, объ╦ме V в контакте
систем с переменной энергией (фиксировано лишь е╦ с термостатом (канонич. ансамбль Гиббса квантовой
ср. значение) при пост, объ╦ме V и заданном числе статистики) описывается каяонич. распределением Гибб-
частиц JV (канонич. ансамбль Гиббса), описывается са. Вероятность нахождения системы в i-м квантовом
каноническим распределением Гиббса состоянии равна
t N, Т) ехр (≈8£/k T),
где Т ≈ абс. темп-pa, Р ≈ свободная энергия (Гельм- где статистич. сумма Z (У, JV, Т) определяется из ус-
. _- гольца энергия) как ф-ция F, N, Т. Свободная энергия ловия, что полная вероятность пребывания системы в
452 F находится из условия нормировки вероятности /(р, g) любом из квантовых состояний равна единице (2г-ы^=
")
}
