|
|
cona {Iffy //y-}=0. Интегрируемость приводит к след, картине движения Г. с. Пусть градиенты ф-ций Я; линейно независимы в изучаемой области фазового пространства, а движение финитно и происходит внутри области. Лсобая траектория оста╦тся и пересечении гиперповерхностей Я/ (р, g)-=tit- с фиксирон. /г/. Компонента этого пересечения топологически эквивалентна n-мсрпому тору Тп (Т1 ≈ обычная окружность, Т2 ≈ проиннсдеиие двух окружностей, поверхность «бублика», стандартный тор Тп ≈ это множество в Д2п ≈Л3Х. . . >'Яа, к-рое при проекции на каждое /?2 да╦т окружность). Можно так задать цлк-лич. координаты (фи . . ., ф/;) на торе Тп, что движение
но тору определяется ур-пиями ф,-≈и/, (≈1, . . ., п, где (M!, . . ., со,,} ≈ вектор частот, т. е. движение ус-лоипо-псриодично. Вся область, где градиенты Я,-линейно независимы, расслоила на такие торы, можно внести спец. координаты (/, <р) {переменные действие ≈ у г о л), в к-рых //=//(/).
на самом торе зависит от частот со (к-ри;е, говоря, меняются от тора к тору). Если между частотами Cuj, . . ., &>└ нет линейных зависимостей вида и,'0)(=0 с целыми коэф., то траектория подходит сколь угодно близко к любой точке тора. Если
же существуют соотношения 2/и1'ш/~0 (Tl T1> Pe;301iaiic частот), то п-мсрный тор Тп расслаивается на торы
меньшей размерности 7lft, п ≈ А" равно числу независимых линейных соотношений.
Строение множества
ft/. __ I. \\ ; └. Л └
\Л I≈≈//; /, I≈≈ 1 , . . ., И,
содержащего точки, где градиенты ф-ций Н/ зависимы, может быть различным. В частности, оно может содержать вырожденные торы (размерности меньшей п),
к к-рым асимптотически приближаются др. траектории, образуя т. п. «усатый», или седлопой, тор. Иырож-депным случаем седлоного тора является седловое дорподич. движение Г, к-рое изображено на рис. 1 пунктирной линией.
Неинтегрируемыс системы. Обычно интегрируемые Г. с. получаются при не к-рых спец. значениях параметров, входящих в Н. Пусть, для простоты, имеется один малый параметр е и при Б≈0 система интегрируема. Тогда в области, где введены переменные дей-ствне ≈ угол </, ф), е╦ ф-цию Гамильтона можно заплсать в виде Я ≈ Я,)(/)-г-еЯ1 (/, ф, е). Л. Пуанкаре (Н. Poincare) считал изучение такой Г. с. «осн. задачей динамики». Движение в такой Г. с, для большинства нам, условий описывается КЛМ-теорие и [Л. Н, Колмогоров, В. И. Арнольд, Ю- Мояер (J. Moser)]. При малых 8 осн. часть торов интегрируемой Г. с. сохраняется, лишь слегка деформируясь; движение на каждом таком торе оста╦тся условно-периодическим.
Но разрушение структуры интегрируемой Г. с. вс╦ же происходит, одной из его причин является расщепление ранее совпадавших устойчивых и иеустой-чиных многообразий седловых периодич. движений (см. периоццч. траекторию Г на рис. I). В окрестности этого множества образуется т. н. стохастич. слой, движение внутри к-рого крайне нерегулярно и практически неотличимо от случайного. Нек-рое представление о кем да╦т рис. 2, где представлено поведение следов устойчивого и неустойчивого многообразий седловой траектории Г на секущей площадке П (см. рис. 1), Кроме стохастич. слоев, возникающих в окрестности седловых периодич. движений, образуются также стохастич. слои (гораздо более узкие) из-за разрушения пек-рой малой части торов, в первую очередь тих, движение на к-рых было чисто перио-
Рис. 1. Часть £Р«≥£Р"ОГО УР°В-
дическим (cii(-=tt,-v, n/ ≈ целые, i=l, . . ., n)t При разрушении такого тора образуется «гирлянда» из седловых и устойчивых .периодич. движений (см. рис. 3). Устойчивые многообразия седловых периодич. движений пересекаются, и образуется стохастич. слой. Т. о., фазовое пространство Г, с., близкой к интегрируемой, характеризуется свойством раздел╦нности: в б. ч. его движение похоже на поведение интегрируемой Г. с., траектории лежат на торах, заполненных условно-периодич. траекториями. В то же время в пек-рой части движение приобретает свойства случайного процесса (квазислучайно).
Следует отметить, что в случае двух степеней свободы сохраняющиеся при малых g двумерные торы перегораживают тр╦хмерный уровень энергии Я≈const, поэтому имеется нек-рая устойчивость (по переменным действия): стохастич. слои между собой не перекрываются. Однако при и^З возникает неустойчивость, к-ран при сколь угодно малом е>0 позволяет траектории из одного стохастич. слоя переходить в другой и тем самым уходить далеко по / (д и ф ф у а н я Арнольд а). Скорость такой диффузии экспоненциально мала (по s), но вс╦ же на больших временах устойчивость она нарушает. Нек-рые численные эксперименты на ЭВМ показывают, что с ростом е вс╦ большее число торон разрушается и в конце концов стохас-
Рис, 2. Стохастический слой. Рис. 3. Разрушенный тор.
тяч. движение системы происходит по всему тр╦хмерному уровню энергии Я≈сопэ!. При такой «развитой» стохастичноети движение обладает свойством эргодичности, т.е. для любой ф-цшт F(p, q} среднее по времени равно среднему по пространству (по объ╦му на уровне энергии, к-рый также сохраняется; см. Эргодическая теория),
Обобщения. В общем случае для задания Г. с. на ч╦тномерном пространстве размерности 2п нужно определить скобку Пуассона любых двух ф-ций /, g, удовлетворяющую обычным свойствам билинейности, антисимметричности и невырожденности, а также тождеству Я к о б и. В локальных координатах xi эта операция имеет вид {f, g} ≈ 2Vft=t U7/* W (df/dxi) (df/dx^), прич╦м матрица witl (х) невырождеыа, wlfi ≈ ≈ wffi и выполняется тождество
ЛИ-7 . flW,
ои- ^^*LM>,
Ох,
дх.
где W = w~{ ≈ обратная матрица. Выбирая теперь произвольную ф-цию Я(х), можно определить для каждой ф-ции / (х) е╦ траекторию F (х, /), F (x, 0) = f (х), из ур-ния dFjdt ≈ {F^ Я}. Ото линейное однородное ур-ние с частными производными 1-го порядка, характеристиками к-poro являются ур-ния Гамильтона dx-Jdt ≈ =^kwiKdfi/dXk* Около каждой точки можно так ввести координаты, что в них матрица ев*"* (х) примет стандартный вид [ _ ,. К где Е ≈ n-мерная единичная матри-
\ ь о J
О
X
О
1
26*
")
}
