1tom - 0330.htm
396
о
z о
s
Для теорий с высшими производными, когда L ≈
* *∙
≈ L(g, д, д, ∙∙∙, 7(п}), переход от лагранжева к Г. ф. осуществляется введением новых координат
fc≈ 1, ..., п, и связей
п
..., Q
rt,
При этом возникают 2 (п ≈ 1) гамильтоновых связен
#
П рода: РЬ≈ 1й=0, jift=^Lr/^^=0. Для ф-ций неременных Р, (> скобка Дирака совпадает со скобкой Пуассона, а Я* имеет вид
При k<ji ур-ния Гамильтона для Q^ эквивалентны лагранжевым связям, а для Р^ ≈ иному определению импульсов:
г, 6L Л
В релятивистской теории осн. проблемой Г. ф. является удовлетворение требованиям релятивистской инвариантности. Как и в лагранжевом формализме, здесь требование инвариантности действия относительно преобразований симметрии позволяет с помощью Н╦тер теоремы построить соответствующие сохраняющиеся величины как явныо ф-цми канонич. переменных <р (х) и я (.г). В частности, инвариантность действия относительно преобразований из группы Пуанкаре приводит к сохранению четыр╦х компонент энер гии-импульса P\\L и шести компонент момента
=0, 1, 2, 3), где, напр., Рй=П, Pi
i≈ I, 2, 3. Эти величины являются генераторами трансляций и вращений в четыр╦хмерном пространстве-времени, реализованными как генераторы соответствующих канонич. преобразований в фазовом пространстве системы. Напр., для любой ф-ции ij>= л я-] имеем
{я, ч>}-ад>.
(где 0Д-≈
Непосредств. проверка инвариантности действия в Г. ф. затруднительна ввиду явной ноковариантности определений jt и Н. Однако, поскольку преобразования Пуанкаре образуют группу Ли (см. Группа}, генераторы должны удовлетворять соотношениям с╦ алгебры:
≈ метрич. тензор), представляющим собой условие релятивистской ковариантности Г. ф. Часть этих соотношений удовлетворяется автоматически, а остальные налагают существ, ограничения на вид Я и др. генераторов группы Пуанкаре.
Г. ф. играет принципиальную роль в процедуре квантования, стандартным рецептом к-рой является замена скобок Пуассона {/, g] коммутатором (i/£)x
Х[/, Jl опеРат°Р°в! отвечающих наблюдаемым / и g. При этом приходится решать две проблемы. Первая
п. -~.
состоит в выборе порядка операторов pt q, отвечающих
fb, ^Ъ. Л f^-.
канонич. переменным, в выражениях /=/(jo, #)∙ Квантовый аналог класслч. системы уже поэтому неоднозначен, Вторая связана с выбором канонических переменных, для к-рых постулируются канонич. переста-
новочные соотношения [р,1, qj\\ ≈ ≈ t'/6,y. В классиче-
ской теории равноправны любые наборы (р, q),
связанные каноническим преобразованием. В кванто-
вой теории разные выборы канонически квантуемых
__ переменных приводят, нообще говоря, к разным ре-
402 зультатам. Иногда критерии выбора существуют. На-
пример, для системы, прообразом которой служит система материальных точек, преимущественными являются декартовы координаты и соответствующие импульсы. Для полевых систем «неправильный» выбор может привести к противоречиям.
Совершенно разный смысл приобретают при квантовании связи I и II рода. Связи II рода налагаются как соотношения для отвечающих им операторов, а связи I рода могут налагаться только как дополнит. условия на векторы состояния, выделяющие фнз. подпространство таких векторов.
Лит.; Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория поля, (i изд.Т М,, 1973: их же, Механика, 3 над,, М-, 1973; Дирак II. А. М,, Принципы квантовой механики, пор. с англ., 2 и;щ., М., 1979; Фаддеев Л. Д., Интеграл Фейныана для сингулярных лагранжианов, «ТМФ», 1969, т. 1, с. 3; Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., М., 1979; Медведев Б. Б,, Начала теоретической финики, М., 1977; Сланной А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, М., 1978; К о Н о п л е в а Н. П., Попон В. Н., Калибровочные поля, М-, 1980. Б. В. Медведев, В. П. Павлов.
ГАМИЛЬТОНОВА СИСТЕМА ≈ частный случай ди-намической системы^ описывающей фил. процессы без диссипации; соответствующие дифферонн.» ур-ния можно представить в след, симметричной форме (Гамильтона уравнения}'.
дН
(*)
где //(/), q, £}, наэ. Гамильтона функцией^ имеет обычно смысл энергии системы, а гц и р,- ≈ обобщенные координаты и импульсы, п ≈ число степеней свободы системы. Ниже рассматриваются автономные Г. с., в к-рых ф-ция Н не зависит явно от промели L В каждой точке (/>, д) фазового пространства вектор (≈dllldqi) dlildpi) зада╦т поле фазовой скорости, касательное к фановым траекториям. Возникает наглядный образ движения Г. с. как фазового потока. Фа:ю вый поток сохраняет элемент объ╦ма в фазовом пространстве, т, е. при движении по траекториям системы (*) фазовый объ╦м но меняется (Лиувилля теорема). Отсюда следует, что Г. с. в фазовом пространстве не может иметь множеств, к к-рым все траектории из целой области притягиваются асимптотически. Более того, почти все траектории, совершающие финитное движение, являются неблуждающими, т. е. почти всякая движущаяся точка многократно возвращается в окрестность своего исходного положения (Пуанкаре теорема о возвращении).
Производная ф-ции А (р, q) по направлению вектора фазовой скорости в данной точке {/j, fy) определяет
г ∙ f)F ОН . изменение г вдоль траектории и равна /∙ ≈ ≈ ≈ т- -f
"Р" С tf
Я}, где {F, Л] наз. скобкой Пуассона
ф-дий F л Я. Если F ∙∙=∙∙=. От т.е. {F, //} ≈ 0, то F не меняется вдоль траекторий и является первым п н-т е г р а л о м (интегралом движения) системы ( *), В частности, интегралом системы (*) является ф-ция Я, поэтому фазовое пространство Г. с. расслаивается на гиперповерхности Я ≈ /i^const; траектория, начинающаяся на данной гиперповерхности, никогда е╦ но покидает. Дополнит, интегралы Г. с. часто получаются как следствие инвариантности Я относительно нек-poii группы преобразований (см. Истер теорема]. Напр., пусть ф-ция Я инвариантна относительно сдвигов s вдоль оси (/!, т. е.
Я
pn
qn}
для любого s. Тогда Я не зависит от q-i, поэтому
р\\=≈dH/Ofji^O и F (р, q) = pi≈ интеграл движения; координата ц\\ наа. в этом случае циклической.
Интегрируемые системы являются простейшим типам Г. с, Оки имеют, кроме ф-ции Я=Я1} ещ╦ п≈1 инте-
гралов Я2,
Я└, прич╦м попарные скобки Пуас-
")
}
