1tom - 0329.htm
395
ур-ния Гамильтона на поверхности связей о/$, определяемой соотношениями ^т = 0, будут полностью эквивалентны лагранжсвым ур-ниям движения, если их
записывать для ф-ции НТ^^Н -\\-^\\ ^ту^п (р, д), где
т
^т≈ произвольные множители (вообще говоря, не выражающиеся только через неременные pt q)\\
дН
Ор,
т
-m
m
На поверхности связей оМ не определ╦нные скобки Пуассона Кт с д/ и />,- не дают вклада в правые части,
Для непротиворечивости такого Г. ф. необходимо, чтобы временная эволюция не выводила за поверх-
ность в^, т. с. чтобы Хлг=Ч#>1 */m}^Q на &&∙ Если это требование не выполняется, необходимо сузить &#, наложил новые, «ьторичные» связи. Процедуру их нахождения предложил П. Дирак (P. Dirac).
_^ ч
Для выполнения условия Хет = 0 на с$ достаточно, чтобы скобки /^» оказались линейными комби-
нациями связен с нек-рыми коэф, amm, (р,
m '
m '
на
(3)
Это -система ур-ний па коэффициенты Хм; если ранг ц. матрицы {/т', Хм} 11а с^ меньше А/, система определяет только и из коэффициентов Ят и возникает &$ ≈ и. условий непротиворечивости. Часть на них может автоматически удовлетвориться на o/$t а остальные образуют xj ^ Л/ ≈ fi «вторичных» связей "/м +д ≈ О,
А ≈ 1, 2, ..., хх. Их следует добавить к первичным, определив новую поверхность с^: х/ ≈ 0, / = 1 , . . . , Л/,
..., Af-1-xi и потребовав, чтобы %/∙ ≈ 0 на c/$i- Процедура повторяется, пока не перестанут возникать новые вторичные связи. Полная совокупность связей
Х/ = °* / = 1' ∙∙" М' ∙∙∙> Jtf-fXi-j-...+xr = / уже удовлетворяет требованиям непротиворечивости Г. ф.;
∙
К/ ≈ {//г> Х/} = 0 па суженной аоверхностк &$*∙ Более того, вес связи можно вставить в ф-цшо Гамильтона:
в качестве генератора эволюции, «полная ф-дия Гамиль-
j
тона») Л т не отличима на &%* от Н*-≈Л-\\-
Вое связи 7/ разбиваются на два класса, с K ≈ J и Л' элементами, где £ ≈ (четный) ранг матрицы {х/, на е$*. К' связей удовлетворяют условиям
≈ S
J
{Xft, Л/у}= 2
на
и наз. связями I рода (ckjir ≈ нек-рые ф-ции переменных р, (/). Остальные S связей-- II рода ≈ не удовлетворяют условиям (4), а матрица {^5, Х$'}л*1|Я цлх имеет обратную, Тео,- Записанные для Н* условия непротиворечивости Г. ф.
= ° на
фиксируют S ни коэффициентов A,/: Xs = ≈ {Я, Подстановка этих значений А
в //* акиивалснтна за-
мене скобки Пуассона скобкой Дирака
- 2
в законе эволюции: / ≈ {Я*, /} на о^*. При этом, поскольку для любой ф-ции / (/?, д) выполняются авто-
матически соотношения (xs, /} = 0, связи II рода можно наложить явно, считая ^ =0 во всех ф-циях /.
Конкретная реализация процедуры Дирака неоднозначна: вместо связен II рода /,∙ можно взять любой
_ ^С*"4!
эквивалентный набор у,- -- > А.., (р, q) у-,, если только
^^^* j i J
Г del Aff' Ф О, В частности, в принципе можно подобрать
Ац> такт чтобы матрица \у└ У,,,} приобрела канонич.
/ 0 / \\ ' вид г л ) ' г^° ^ ≈ единичная матрица ранга 5/2.
\ ≈ * и/ Затем канонич. нреобразовапиои в полном фазовом
пространстве Г можно псройти от первонач. неременных (р, q} к поным ('/∙ р' , д'), в к-рых перныс 5/2 кар ≈ связи II рода. В новых переменных скобка Дирака приобрет╦т луассонов вид: {/, #}*_ q--={f,H}p^q., а связи II рода окажутся полностью исключ╦нными, повлияй ,'1ишь на «ыбор переменных //, q'. В этих переменных оиолюциилс у икра ил лет ф-цня Гамильтона
/С
Я' = Н-\\
включающая лишь связи I рода,
А=
находящиеся в инволюции (т. о. скобки Пуассона связей выражаются через линейную комбинацию самих связей):
Гамильтоггово описание вед╦тся теперь и (2.V ≈ LS) -мерном пространство Г' канонич. переменных р', q' . В нем участвуют К произвольных ф-ций А^ (*); изменение Х^ пе приводит к изменению состояния или закона эволюции, а сводится к канонич. калибровочному преобразованию, генератором к-рого является связь ХА- ^а" блюдаемыми нелячнпами естественно считать не вое ф-ции / (р1 , q') на поверхности &$' ч определ╦нной условиями /ft ≈ 0, а лишь то, на эволюции к-рых но сказывается произвол в А,£. Для этого достаточно, чтобы
h'
^^
при этом / ≈ {Я', /}^{77, /} на &$'. Такие ф-ции зависят не от всех 2Л7 ≈ S ≈ K координат1 на &$' . Если считать (fi) системою! диффс-рспц. ур-ний для /, то (5) будут условиями е╦ разрешимости и / определится своими значениями на подмногообразии Г* нач. усло-
ви, размерности 2N ≈ S ≈ 2К ≈ 2N ≈ J задают на G^T ур-нинми »ife(p', <?') = 0 Как
K. Г* обычно
паз. дополнит. условиями. ак и в случае связен II рода, переходом
к эквивалентным связям у^ и выбором дополнит, условий всегда можно добиться того, чтобы {yvfe, y^.J^O,
{у.Ь flfc'}~6jbfe'. (ч^' i1ft'}~(J» т.е. чтобы новые связи и дополнит, условия годились па роль канонич. переменных. Канонич. преобразование в Г' от (//; q') к {/ft» P*'i 11й> ^*1 достраивает остальные переменные р*, с/*, служащие независимыми координатами на физ. фазовом пространстве Г*. Для ф-ции, удовлетворяющих системе ур-ний (G), скобка Пуассона выражается только через plfi, q*: {/, g}p>, q<~(f, g}p*>t q*<. Т. о., существуют два эквивалентных описания гамильтоиовой системы со связями: в полном фазовом пространстве Г со скобкой Дирака {/, #}* и ф-цпей Гамильтона Я*
Рг Ч _
и в физ. фазовом пространстве Г* со скобкой Пуассона {/>£}/j*,4* л ф-цией Гамильтона H = ff\\y, Q -n =0.
I j ╧
Первый способ технически проще, поскол],ку на практике не всегда уда╦тся явно построить необходимые для второго способа каноиич. преобразования. Однако принципиальная возможность второго способа служит обо-сгюнанием метода функционального интеграла для систем со связями.
О
о
401
Фцзичеснап акциклопедия! т. 1
")
}
