|
|
Ур-ние (3) используется для описания эволюции си-стешл в Геижк&'р^-й яр*<&та&┬#&&#. Оно является квантовомеханпч. аналогом ур-ния для классич. ф-ции /, зависящей от координат qk и импульсов pit системы:
КЛ1
где {Я, /}кд ≈ классич. скобка Пуассона,
N ", /}кл-
9/
(N ≈ число степеней свободы системы). Сравнение ф-л (3) и (4) показывает, что в класснч. пределе ком-
мутатор [Я, /] должен переходить в ≈ ik {//, /}ил,
[Я, f]-+-i1i{H, /}ка, (о)
Аналогичные соотношения должны выполняться для коммутаторов операторов, соответствующих и др. классич. фна. величинам. В согласии с этим Г. физ. системы получается из классич. ф-цпк Гамильтола уамепо11 классич. координат и импульсов частиц па соответствующие операторы, подчиняющиеся комму-тац. соотпотпелиям. При атом возникает неоднозначность в последовательности записи некоммутирующих опорнторон в выражениях, отвечающих произведению классич. величин, к-рая устраняется симметризацией
атих ннражсний, напр. g/ pf заменяется на 1/2 (&7;?"т-
~\\~Pifi)'
Привед╦м Г. для простейших систем:
а) частица массы т во внеш. потоиц. поле Т7(х, г/, г):
, у, г),
где px≈ ≈ i1idjdx и т. д.;
б) система л частиц с парным взаимодействием
~,3
Аналогично в квантовой теории вяаимодсйстнуюгцих полой (т. с. в дннампч. системах с бесконечным числом степеней свободы) Г- системы получается из классич. гамилътоновок ф-ции полей заменой классич. величин (напр., амплитуд нормальных колебаний) соответствующими операторами. Возникающая при этом неопределенность в порядке записи произведений нско.м-мутнрующих операторов позволяет выбрать такую последовательность {т. л. нормальное произведение], к-рая естеств. образом определяет флз. иакуум системы (см. Квантовая теория поля}.
Если физ. величина / не зависит явно от времени (fl//dZ ≈ ()}, то условием ев сохранении, согласно (3), является обращение в нуль коммутатора оператора
этой величины с Г. системы, [П, }]≈U, т. о. услоннс одновременной измеримости дайной величины и энергии системы.
Если Г. системы обладает к.-л. симметрией, то оператор, осуществляющий приобрановання симметрии, коммутирует с Г. Соответственно атому кажд(ш симметрии Г. отвечает закон сохранения определ╦нной величины (см. Истер теорема). Так, симметрии Г. относительно сдвигов и поворотов системы в пространство соответствуют законы сохранен и и импульса и момента импульса системы, симметрии Г. относительно отражения координат частиц ≈ сохранение пространственной ч╦тности, системы и т. д. Симметрия Г. приводит, как пранило, к вырождению уровней энергии,
Поскольку Г. отвечает физ, величине (ф-ции Гамильтона или энергии), он является прмитоным оператором. iJpMtnonocTb Г. обеспечивает сохранение нормы век-400 тора состояния (т. с. пол пой вероятности). Однако для
описания процессов с поглощением частиц (напр.т ироцессов рясгряшш адршюя »я ядрах) мтут быть использованы комплексные потенциалы, соответствующие неэрмитовым Г. (см. Оптическая модель ядра). Лат..- Ландау Л. Д., Лифт и ц Е. М., Квантовая механика, 3 ияд., М,, 1974; Боголюбов Н- Н,, Ш и р-к о и Д. В., Квантовые поля, M.f 1980. С. С. Герштейн. ГЛМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ ≈ основанная на ва-риац. принципе формулировка механики и теории поля, в к-рой состояние системы зада╦тся обобщ╦нными координатами g,- и обобщ╦нными импульсами pi (i = l, 2, . . ., N, где TV ≈ число степеней свободы). Описываемая Г. ф. динамическая система наз. гамиль-tnOHoeou системой, а пространство е╦ состояний ≈
пространством. В Г. ф, действие
dt
(1)
выражается через ф-цию Гамильтона Н (точкой обозначено дифференцирование по времени; р, д ≈ совокупность всех, р,-, г/,). Я является преобразованием Лежандра ф-ции Лагранжа L: Н ^2 Pifli ≈ L (q, q, f),
L
где щ к правой части следует иыра;шть через pf-, раз-peniifB относительно </,- определение импульсов:
/j,-≈ dLjdq[. (2)
Г.ф. и лаграижев формализм полностью эквивалентны, если определено преобразование Лежандра, т. о. если
det (д^Ь,'д(цд<],-) > 0.
В наименьшего действия принципе 6S ≈ 0 независимыми вариациями в (1) считаются 6р,- и 6ц/, прич╦м
бу,--- dbq,-.;dt. Тогда стандартные Эйлера ≈ Лагранжа. уравнения дают в качестве ур-ний дииження Гамильтона уравнения
В Г.ф. любая динамич, переменная / является ф-цией капонич. переменных р, ^ (л, возможно, времени). Е╦
полная производная по времени / = df/dt -~df/dt 4-
2.1 ' [q,- (djjdq;) \\-pi (dfl&pi}\\ вследствие ур-ний Гамиль-
тона
имеет of i)g
1 g
<'д≈вТд
вид j = dfjdt -}- {.//,/}, где {/, g} =
Of dg
мич. переменных / и g. He зависящая явно от времени переменная / сохраняется, если с╦ скобка Пуассона с // обращается в нуль.
Г.ф. допускает широкий класс замен переменных в фазовом пространстве- канонические л р е о б-р а л о вания, при к-рых ур-ния Гамильтона и скобка Пуассона не меняются.
Переход от лаграшкева к Г.ф. осложняется, когда определении импульсов (2) не разрешимы относительно
∙ ∙ ∙
всех <//, т. о. когда del (д*Ь/дщдд/) --0. Эта ситуация всегда возникает в калибровочных теориях, в к-рых L
вообще не зависит от нек-рых (//, или в теориях со связями Ф,л(</) ≈ 0 (ш~--1, ..., Л/), где обычная замена
М
вводит дополнит, коорди-
∙
наты J и LJ- снова не зависит от %т. В обоих случаях вытекающие и^ определения импульсов соотношения л,л --= dLjd$m ~ 0 представляют собой простейший пример «гамильтоновых» связей.
В общем случае, когда ранг матрицы dzL/dqfdqj равен Л'≈Л/, М > 0, требование непротиворечивости ур-нпй (2) приводит к М соотношениям хя (р, *?)^0, к-рые паз. первичными связями и Г. ф. Стандартные
")
}
