1tom - 0327.htm
393
В общем случае Г. ф, П((ц, Pi-, t) может быть определена через Лагранжа функцию L(q^ q^ t} равенством
Й,- 9└ « \«.^PI'
в к-ром все а; должны быть выражены также через р;.
Г. ф., как п ф-цпя Лаграижа, полностью характеризует ту систему, для к-рой она определена, т. к., иная // (с/,, pi, t), можно составить диффсренц. ур-пия движении системы или в виде 25 обыкновенных диффсренц. ур-пнй 1-го порядка, гдо s ≈ число степенен свободы, или в виде одного ур-ния в частных ироиа-нодпых тоже 1-го порядка (см. Гамильтона ≈ Якоби уравнение). Г- ф. введена У. Р. Гамильтоном (W. R- Hamilton).
Наряду с термином «Г. ф.» употребляют иногда термин «главная ф-ция Гамильтона», именуя так полный интеграл ур-ния Гамильтона ≈ Якоби, равный действию по Гамильтону. В квантовой механике используется квантовомеханич. оператор ≈ гамильтониан, или оператор Гамильтона, соответствующий Г. ф. Б классич. механике. С. М. Тарг. ГАМИЛЬТОНА ≈ ЯКОБИ УРАВНЕНИЕ ≈ дифференциальное ур-нис в частных производных 1-го порядка, описывающее движение голоиомных механич. сметем под действием потонц, сил. Чтобы составить Г.≈ Я. у., необходимо для данной механич, системы знать Гамильтона функцию //(<?/, р/, t}, где щ и р/ ≈ кянонич. пирсчиеиные: обобщенные координаты и обобщ╦нные импульсы, a t ≈ время. Тогда Г.≈ Я. у. будет иметь вид
OS
≈ П
t
(1)
где правая часть представляет собой выражение ф-ции .Я, в к-ром все pi заменены на dS/dqf, a S ≈ подлежащая определению ф-ция координат у,- и времени £, представляющая собой действие по Гамильтону; иногда ф-циго iS1 (i?/, t) нал. главной ф-цией Гамильтона.
В частном случае при движении одной материальной точки в силовом поле, определяемом силовой ф-цией U(x, у, г, t), Г.≈ Я. у. имеет вид
dt [
где т ≈ масса точки, х, у, z ≈ е╦ координаты.
Г.≈ Я. у. непосредственно связано с Гамильтона уравнениями, к-рые с митем. точки зрения являются для ур-ния (1) ур-пиями характеристик.
Чтобы с помощью Г,≈ Я* у. найти закон движения мсхапнч. системы, надо определить полный интеграл ур-лия {!), т. е. его решение, содержащее столько постоянных интегрирования, сколько в ур-нии независимых переменных. Этими переменными являются координаты qi и время t\\ число их равно 5+1, гдо s ≈ число степеней свободы системы. Следовательно, полный интеграл ур-ния (1) должен содержать s-\\-i постоянную, из к-рых одна, как аддитивная, может быть отброшена, и имеет вид
S-^S (t, q-L, ос,-). (2)
Если решение Г.≈ Я. у. в виде (2) будет найдено, то, составив .s равенств
£-1, 2,
.,.,
(3)
где р,- ≈ новые произвольные постоянные, получим s алгебраических (недифферспциальных) ур-ний, левые частя к-рых содержат д,, а/ и t и из к-рых можно определить qi я виде
Значения др. группы канонич. переменных />,- находят дз равенств
Pi=-7T~ (*=1i 2' ∙∙∙> *)∙ (5)
П Qg. V » / V /
Ур-пия (4), выражающие qf как ф-цни £, и определяют положение механнч. системы в любой момент времени, т. о. закон, е╦ движения. Входящие сюда постоянные а,- и pt- находят подстановкой начальных данных в равенства (4) и (5).
Если ф-ция Гамильтона // явно не содержит время, что, п частности, имеет место для консервативных систем, то S можно искать в виде
где h ≈ постоянная, рапная полной аиоргии системы, а Л'0 ≈ величина, на;*, укороченным донстиием (действием по Лагранжу) пли характермстнч. ф-циен и определяемая как полный интеграл ур-ния л частных производных
в виде
Тогда полный интеграл Г.≈ Я. у. будет
∙--, а.т_1, h)- ht
и закон движения системы определится и соответствии с (3) из равенств
ostt
t)Ct-
Oh
≈ Pi
1),
P
(8)
Ур-пия (7), содержащие в данном случае только ?,-, а/, р/ и не содержащие время t, определяют в многомерном пространстве траекторию точки, изображающей данную механич, систему, а ур-ние (8) даст закон движения вдоль этой траектории. Значения постоянных а,-, р/ определяются и в атом случае подстановкой начальных данных в равенстве (5), (7) н (8). Г.≈ Я. у. и связанный с ним метод решения задач механики играют важную роль и в др. областях физики, особенно в оптике и квантовой механике. В частности, известное в геом. оптике ур-нло эйконала подобно Г. ≈ Я. у* в виде (0), где St) играет роль эйконала. Этот результат позволяет рассматривать классич* механику как аналог геом. оптики, в к-ром роль поверхностей движущейся волны играют поверхности £(,(g,-)≈const, а роль световых лучей ≈ ортогональные к этим поверхностям траектории движения.
Лит- см. При ст. Действие. С. М. Тарг. ГАМИЛЬТОНИАН (оператор Гамильтона) ≈ квантовомеханич. оператор, соответствующий Гамильтона функции в классич. механике и определяющий эволюцию квантовой системы. В Шр╦дингера представлении эта эволюция описывается зависимостью от времени вектора состояния |\\|;> системы, к-рып удовлетворяет Щр╦дингера ур-нпю
со
X
о
Г
где И ≈ гамильтониан. Если классич. ф-цпя Гамильтона не зависит явно от времени, то она является интегралом движения и значение е╦ совпадает с энергией системы. Соответственно Г. системы п этом случае является оператором эысрпш. Ур-ние (1) при атом имеет частные решения в виде стационарных состояний |1|э>=ехр (≈ г£^ОД|фс>>, где вектор состоянии ф^>
не зависит от времени и является ообств. вектором Г., соответствующим значению энергии £;
| i ff x |т0х" V/
Ур-ние (2) определяет спектр энергии системы.
Оператор производной по времени физ. величины / также выражается через коммутатор Г. системы с
.л
оператором / данной фин. величины:
j j Я / ∙» л -%
ttj ОГ I- г га- f-щ j-O\\
df=^r+T╧ Л. (3)399
")
}
