1tom - 0282.htm
352
ш О
х
может быть задано набором чисел (N^ N2, . . .), указывающим, что Л'! частиц находится в состоянии i|?j, N2 частиц ≈ в состоянии т|з2 и т. д. Вектор состояния системы в этом случае Обозначают |Л\\, JVa, . . .). О таком описании системы говорят как об описании в пространстве ч и с ел а а п о лп е н и я или в представлении вторичного к в а II т о в а и: и я.
Для ферми-системы в каждом состояние может находиться не болев одной частицы, N/=0,1. Для бозе-систом Nf может быть любым иеотрицат. целым числом, jV,-=0,li . . ., N. В пространстве чисел заполнения можно рассматривать системы с произвольным числом
частиц. Оператор aj", переводящий состояние системы |Л\\, . . ., Nft . . .} в состояние, у к-рого на (-уровне находится Nf -f 1 частиц,
пая. оператором рождения. Оператор, atr, к-рып удаляет частицу с i-уроипя,
наз. оператором уничтожен и я. Коэф. У N гHI и У N [ в (1) и (2) определяются из условия того,
что оператор afaT является оператором числа частиц в состоянии L т. е.
Операторы рождении и уничтожения удовлетворяют перестановочным соотношениям
[
а],
(За)
для статистики Бозе ≈ Эйнштейна (квадратные скобки, как обычно, означают коммутатор, т. е. [6, с] ≈ = bc≈cb) и
{└∙*∙ _+1 Л /└~ └Т\\ Л /~+ └~\\ A /1fi\\ ai i af 1 = U, jat' , fly | ≈ 17, \\Cfi , Я; J " O// (^"/
для статистики Ферми ≈ Дирака (фигурные скобки означают антикоммутатор, т. е. {b,c}=hc-\\-cb; й(у≈ Я'ронекера символ). Пространство чисел япполнонпн для бесконечного числа частиц наз. пространством Фока,
Любые квантовомеханич. операторы, заданные, напр., в конфигурационном представлении, можно записать при помощи операторов рождения и уничтожении в представлении В. к. Напр., гамильтониан,
t /∙ £
где Я/11≈ ≈ (fiz/2m}&f-\\-UW(Xf) ≈ одночастнчный га-мильт(>][и;шт U(-](.Vf, ws) ≈ потенциал двухчастичного взаимодействия, в представлении 13. к. записывается в виде;
∙- У
∙>. **,-!
а. и,
а, а
. j . 14 » U . 1Л.1А
i/г, ;?и t « г /я
где
=\\
ffi , QI ≈ соответственно операторы рождения и уничтожения частиц в состоянии % одяочастичпого гамильтониана (без уч╦та взаимодействия между частицами). Гамильтониан в представлении В. к. может быть записан в более компактной форме, если внести операторы тр и тр+,
358
действующие на векторы состояния |ЛГ1( Л*2, пространстве чисел наполнения:
(ж) duj + 4-
. . .} в
x
Выражения для операторов \\\i аналогичны разложению произвольной волновой ф-ции по полно]! системе волновых ф-ций tyj. Поскольку, однако, коэффициенты раз-
ложения являются не числами, а операторами, if и
if+ па:.з. л т о р и ч 11 о квантованными (отсюда на;ш. метода ≈ «В. к,»).
Достоинство метода В. к. в применении к системам юаимодепстпующих частиц состоит в том, что с его по-мощъто естеств, образом описынаются переходы между состояниями системы, вызванные взаимодействием частиц. Эти переходы сводятся к исчезновению частиц в одном состоянии и появлению их н другом. Одновременно аппарат В, к. приспособлен п к рассмотрению процессов с порем, числом частиц ≈ описывает рождение или уничтожение частиц в результате влнимодейсг-вин. R квантовой механике всякое слабо нонбуждьн-ное состояний системы взаимодействующих частиц может быть представлено как совокупность элементарных возбуждений ≈ квазичастиц. Числа Nf н представлении чисел заполнения в этом случае интерпретируются как числа кваэичастиц. Напр., слабо возбужденное состояние тв╦рдого тела, обусловленное колебаниями атомов кристаллич, решетки, описывается как совокупность ква;шчает1Щ ≈ фононоа, свободно движущихся в объ╦ме тела. При этом энергию возбуждения системы мо/кно рассматривать как анергию идеального га.ча фопопов. Осн. состояние системы, в к-ром отсутствуют квазичастицы, можно рассматривать как накуум, вектор состояния к-рого удовлетворяет условию
o
0} = П. Для слабо взаимодействующего исидсалъ-ного бозе-газа операторы рождения и уничтожения квазнчастпц спязаиы с операторами рождения и уничтожения исходных частиц Боголюбова каноническими преобразованиями.
Квантование системы гармонических осцилляторов, Рассмотрим важный частный случай ≈ систему п квантовых невзаимодействующих гармони ч. осцилляторов (единичной массы) с гамильтонианом п
Здесь </,, pf≈ операторы обобщ╦нных координаты и импульса г-осцпллятора, а параметры и/ иикчог смысл частоты колебаний. Для перехода в представление В. к. вводятся операторы уничтожения и рождения
≈ 1
fl; =^.
103.
Тогда гамильтониан принимает вид
п Н= '
im-
Операторы af удовлетворяют перестановочным соотношениям (За). Обозначим через \\[v решение ур-ния
аГЧ\\*/ = Ф оно интерпретируется как вакуумное состояние t-осциллятора. Введем вакуумное состояние системы
п
п осцилляторов: [0>≈ ТТ г|?0/. Состояние
i- \\
K
I
")
}
