1tom - 0247.htm
Л
X О
320
няется применимость понятия луча, но его характеристики, в частности законы рефракции, зависят от амплитуды В. (в подобных случаях говорят о приближении нелинейной геом. оптики). Так, если показатель преломления световой В. п зависит от с╦ интенсивности /, то возникают эффекты саморефракции, когда без всякой внеш. неоднородности лучи искривляются в сторону больших п. При этом, если п(1) ≈ возрастающая ф-ция, то из-за такой саморефракции лучой в область больших / интенсивность ещ╦ больше раст╦т, т. е. эффект имеет кумулятивный характер ≈ возникает самофокусировка В, (см. Самофокусировка света}. Особую сложность здесь представляет описание поля в области фокусов и каустик, где обычно наиб, сильно сказываются как нелинейность (в приближении гоом. оптики амплитуда раст╦т неограниченно), так и дифракция,
Описание одновром. влияния нелинейности и дифракции на распространение почти гармонич, волнового пучка в нелинейной диспергирующей среде, в к-poi'r малая нелинейная добавка к п~1 (что типично для мн. задач нелинейной оптики, физики плазмы и Др.), проводится обычно в рамках нелинейного ур-ния Шр╦дип-гера, обобщающего ур-нпн (24) и (29). Если В., распространяясь вдоль направления х, представляет собой модулированное в пространстве колебание: \\|?= ≈A1 (r)exp(ico*≈ikx), то это ур-ние имеет вид, обобщающий (24);
ЙА v f д?А
Ур-ние (30), как и (24), описывает стационарный волновой пучок. В отсутствие нелинейности (р≈0) пучок расширяется из-за поперечной диффузии. Нелинейность может полностью скомпенсировать это ушире-нис, тогда В. будет распространяться без уменьшения амплитуды (дА /Ле≈0), как бы «пробивая» сама себе волноводный канал. Такое решение возможно при Р>0 (фокусирующая нелинейность). Диссипация и раал. рода неустойчивости приводят к постепенному разрушению нелинейных волноводов. Нелинейность может и «перекомпенсировать» дифракц, расходимость, что и означает самофокусировку пучка. Эффекты самофокусировки (и обратные им ≈ самодефокусировки) играют особенно важную роль в нелинейной оптике и квантовой радиофизике; в частности, они ограничивают возможности создания мощных лазеров с широкими волновыми пучками, поскольку в определ. условиях плоская В. оказывается неустойчивой по отношению к возмущениям е╦ волнового фронта и распадается на отд. пучки («нити»}.
В средах без дисперсии или со слабой дисперсией эффекты нелинейной рефракции и дифракции ещ╦ сложнее, т. к, волновое поле не оста╦тся гармоническим и профиль В. непрерывно деформируется, вплоть до образования ударных В., солитонов и др. Такие процессы типичны, напр., для нелинейной акустики (сюда относятся, в частности, задачи о распространении взрывных В. сильного звука в атмосфере и океане). Здесь также широко применяется приближение коротких волн, позволяющее, в частности, проследить за нелинейными искажениями В. вдоль лучей (нелинейная геом. акустика). При описании В. как квазиплоского волнового пучка справедливо приближ╦нное ур-ние, обобщающее ур-ние (27) в отношении уч╦та дифракции:
v
£!±1
~~2с \\^ду^ г~дгГ)
(31)
где х ≈ продольная, у, z ≈ поперечные координаты. При р=0 это ур-ние часто наз. ур-нием Хохлова ≈ Заболотской, а при v=0 ≈ ур-нием К а д о м-цева ≈ Петвиашвили.
Ур-ние (31) ещ╦ весьма сложно для решения; чтобы получить простое описание эффектов, применяют более
грубые упрощения. Так, при фокусировке волнового пучка в фокальную область приходит нелинейно искаж╦нная В., однако в УТОЙ области, несмотря на рост нелинейности, ею иногда можно пренебречь, т. к. дифракц. эффекты оказываются сильнее. В результате процесс может быть описан поатаино: сначала нелинейная фокусировка, затем линейная дифракция. Для диспергирующей среды без потерь (v=0j ур-ние (31) может иметь решения в виде двумерных солитонов.
Взаимодействие волн. Поскольку для нелинейных В. принцип суперпозиции не выполняется, допустимо говорить о взаимодействии В., т. е. о тех эффектах, к-рые возникают при их совместном распространении. В соответствии с разл, способами описания одного и того же поля, понятие взаимодействия часто трактуется неоднозначно. В случаях, когда описывается эволюция В. как целого, обычно говорят о «самовоздействии» (напр., деформация профиля простой В., или деформация огибающих для В. с узким спектром). Вместе с тем эти же процессы можно рассматривать как результат взаимодействия разл, спектральных составляющих (напр., гармоник) поля (см. выше). Выбор представления зависит от конкретных условий задачи. В средах с малой нелинейностью и сильной дисперсией особенно эффективно протекает взаимодействие почти гармонич, В., если выполняются те или иные резонансные условия. Пусть, напр., в среде возбуждены две В. с частотами coj и (о2 п волновыми векторами ftj и Ага. Из-за нелинейности возникнут возмущения с комбинац. частотами оя =mwi±nw2 и волновыми векторами fcCT,, = //iAri:t: ±nk'z, где /пип ≈ целые числа. Наиб, эффективно будут возбуждаться тс из них, к-рые окажутся в резонансе с нормальными В. среды, т, е. для к-рых отношение tumjkjti,i совпадает с фазовой скоростью одной из таких В. Простейшим примером служит трсхволновое взаимодействие, когда одновременно выполняются соотношения Шх≈ о)2-1-ю3, &!≈ Аг2-ЬА'з (условия синхронизма). Эти соотношения выражают за-копы сохранения энергии лсо и импульса И/с при распадах и слияниях квантов поля: либо квант первой В. (накачки) распадается на два др. кванта, либо происходит слияние этих квантов в один. В одномерном случае изменение комплексных амплитуд таких В. описывается связанными ур-нияыи:
(32)
где ггр ≈ групповые скорости, о ≈ постоянные коэф. нелинейности, * ≈ обозначение комплексного сопряжения. Из ур-нкй (32) следует, что суммарная анергия всех тр╦х В. сохраняется, однако [напр., для гармонических в пространстве В., когда A≈ A (t)] происходит периодич. перекачка энергии от первой В. («накачки») к двум другим, и обратно. В «вырожденном* случае взаимодействия гармонич. В. с е╦ 2-й гармоникой (т. е. когда со2=а>3=а>1 AZ≈AS) возможен (в отсутствие потерь) и полный переход энергии из осн. частоты во 2-ю гармонику (но не наоборот). В системах с обратной связью (напр,, резонаторах) возможна параметрич. генерация В. на более низких частотах о>2 и о>з за сч╦т энергии высокочастотной «накачки» на частоте % (см. Параметрический резонанс). Подобные эффекты наблюдаются для В. в плазме, световых и акустич. В, в кристаллах и т. д.; они используются, напр., в параметрических генераторах света (см. также Вынужденное рассеяние света, Мандельштама ≈ Бриллюэпа рассеяние]. Аналогичные резонансные взаимодействия возможны для четыр╦х и более В.
В известном смысле, другой предельный случай составляют «однократные акты» взаимодействия локализованных (уедин╦нных) нелинейных образований ≈
")
}
