1tom - 0245.htm
319
В общем случае ударвая В. представляет собой относительно тонкую переходную область, в к-рой происходит необратимое изменение состояния среды. Так, при распространении В, сжатия в газе в области с большой крутизной фронта начинают сказываться эффекты вязкости и теплопроводности; в результате вместо перехода в режим «опрокидывания» формируется удар-вый фронт. Он может быть достаточно тонок (в масштабе всего волнового возмущения), и тогда его поведение
Рис. 18. Солитон.
рис. 16. Фотография ударной волкы перед движущимся
снарядом.
интерпретируется как движение разрыва, «скачка» поля (скачок давления, скорости и т. п.), величина и скорость перемещения к-рого определяются граничными условиями, «сшивающими» значения параметров по разные стороны от него. В частности, на ударном фровте всегда раст╦т эвтропия. Ударные В. возникают при сверхзвуковых движениях тел ≈ самол╦тов, снарядов (рис. 16), метеоритов, при взрывах и т. д. В плазме с магн. полем существуют магн.-гидродинамич, ударные В., а в линиях передачи с ферритами или полупроводниковыми элементами ≈ зл.-магн. ударные В.≈ «скачки» эл.-магн, поля, ве связанные с макроскопич. движением среды.
Солптоны. Др. фактором, способным предотвратить «Опрокидывание» нелинейной В., является «реактивная» дисперсия, не связаввая с диссипацией энергии. В ур-нии (27) она связана с последним слагаемым в правой части. В случае, если P=^G, v=0, т. е. диссипацией можно пренебречь, ур^ние (27) наз. ур-нием Кортеве-га≈де Фриса [его «линейный» вариант да╦т ф-ла (13)]. Этому ур-нию подчиняются достаточно длинные слабо-нелинейные В. на поверхности водо╦мов, в плазме, в эл.-магн. линиях и др.; оно сыграло важную роль в развитии матем. теории нелинейвых В. И здесь первоначально плавное движение эволюционирует как простая В., но затем «включается» дисперсия, и по мере обострения фронта на н╦м появляются осцилляции, В результирующем движении снова типично формирование В., близких к стационарным. Стационарные решения ур-ния Кортевега≈де Фриса ≈ это, вообще го-
Ряс. 17. Периодические стационарные волны различных амплитуд в нелинейной среде с дисперсией.
воря, периодич. (т. н. кноидальные) В., профиль к-рых определяется «конкуренцией» между тенденциями к «опрокидыванию» из-за нелинейности и расплыванию из-за дисперсии (рис. 17). При малых амплитудах эти В. близки к синусоидальным, а при больших ≈ превращаются в последовательность коротких импульсов (поле обогащено большим числом гармоник). В пределе бесконечного периода получаются уедин╦нные волны ≈ солитоны, энергия к-рых сосредоточена в основном на ограниченном интервале оси х (рис. 18). Для ур-ния Кортевега≈де Фриса семейство солитонов зада╦тся решением -ty=A secha[(a≈vt)/A], где Л
v~uQ-\\-eA/3, A ≈ амплитуда. Характерная протяж╦нность солитона Л тем меньше, чем больше А', одновременно с увеличением А солитон убыстряется. Такие образования свойственны и другим нелинейным диспергирующим волновым системам. Они обнаруживают поведение, роднящее их с материальными частицами: они локализованы в конечной области; перемещаются без деформации, перенося энергию и импульс, момент импульса; способны сохранять свою структуру при взаимодействиях (соударениях) с такими же объектами, могут образовывать связанные состояния, объединяться в коллективы (ансамбли) ит. д. (см. Солитон). Модулированные нелиней-вые волны. В средах с малой нелинейностью и сильной дисперсией стационарные В. близки к синусоидальным. Если в такой среде распространяется модулир. В., то «несущее» поло в ней оста╦тся близким к гармоническому, но его огибающие ≈ амплитуда и частота ≈ медленно меняются во времени и пространстве, и основной нелинейный эффект состоит именно в том, что на достаточно больших интервалах времени и пространства огибающие испытывают накапливающиеся нелинейные деформации, определяемые зависимостью скорости распространения В, как от частоты ы, так и от амплитуды А или интенсивности В. 1~A**- (в простейшем случае нелинейная добавка к скорости ~7). Такая В. имеет вид А (х, t)et(-wt~ *>, где А ≈ медленно меняющаяся комплексная амплитуда, описываемая Шр╦дипгера уравнением нелинейным, обобщающим ур-ние (20)
3
X
где р ≈ пост, параметр нелинейности. Если в линейном приближении любая волновая группа в конечном сч╦те неограниченно расплывается, то в нелинейном случае результат снова определяется соотношением дисперсии и нелинейности, описываемых членами, стоящими в правой части (29). В достаточно протяж╦нных волновых пакетах возникает самолокализация ≈ образование участков новыш. крутизны. Этот процесс происходит по-разному в зависимости от соотношения знаков дисперсионного и нелинейного членов. Если параметры р и dz&Jdk* имеют одинаковые знаки, то возможно существование простых В., а затем появление осцилляции огибающей или образование самоподдерживающихся перепадов амплитуды и частоты ≈ ударных В. огибающих (рис. 19, а); для их существования необходимо включение релаксац. диссипатив-ных процессов, играющих роль, аналогичную роли вязкости для обычных ударных В. Если же знаки этих параметров противоположны, то волновые группы могут
Рис. 19. Ударная (а) и уедин╦нная (б) волны огибающих.
сжиматься, а характерной стационарной В. является солитон огибающей в виде локализованного волнового пакета неизменной формы (рис. 19, 6), В этом же случае немодулированная гармонич. В. оказывается неустойчивой по отношению к малым модулирующим возмущениям (модуляц. неустойчивость или самомодуляция).
Нелинейные волновые пучки. Неодномерные процессы, в к~рых одновременно действуют нелинейность, рефракция и дифракция, обычно чрезвычайно сложны для исследования, даже в случае гармонических во .__ времени В. Для достаточно коротких В. здесь сохра- 325
")
}
