1tom - 0244.htm
-о
z ц
О
или что-либо другое, учитывающее «под-качку» энергии в В. Для каждого из подобных факторов можно ввести меру по тем же рецептам, что и при оценке нелинейности. Это позволяет соотносить их конкурирующую роль, что отражается и в классификационной терминологии: напр., говорят о системах с сильной нелинейностью, но слабой дисперсией и слабой диссипацией.
Особенности волновых процессов в нелинейных системах удобно пояснить на примере одномерных возмущений в энергетически пассивной, слабонелинейнон однородной среде, когда спектральный язык ещ╦ не утрачивает свою пригодность. В линейном приближении поле В. есть суперпозиция нормальных гармонич. В. с частотами о> и волновыми, числами и, подчиняющихся дисперс. ур-нию (8). А в нелинейном режиме гармонич, В. взаимодействуют, обмениваясь энергией и порождая В. на новых частотах. В частности, «затравочное» возмущение на частоте оо сопровождается появлением высших гармоник на частотах 2ш, Зо> и т. д. Энергия колебаний как бы «перекачивается» вверх по спектру. Эффективность этого процесса зависит от дисперс. свойств системы и может быть велика даже при очень слабой нелинейности. Действительно, если дисперсии нет, то В. всех частот распространяются синхронно с одинаковыми v^ и их взаимодействие будет иметь резонансный, накапливающийся характер, поэтому на достаточно больших длинах (в масштабе А) перекачка энергии может осуществляться весьма аффективно, Если дисперсия велика, то фазовые скорости гармонич. возмущений, имеющих разные частоты, не совпадают, следовательно, фаза их взаимных воздействий будет быстро осциллировать, что привед╦т на больших длинах к ничтожному результирующему эффекту. Наконец, возможны специальные, промежуточные случаи, когда в системе с сильной дисперсией только две (или несколько) «избранные» В. с кратными частотами имеют одинаковые УФ и поэтому эффективно взаимодействуют. В ряде случаев достигается своеобразное спектральное равновесие, когда амплитуды всех синхронных гармоник сохраняются неизменными и суммарное поле имеет вид стационарной бегущей В. вида (1), при этом в случае сильной дисперсии ф-ция f(x≈vt) близка к синусоиде, а при слабой ≈ она может содержать участки резкого изменения поля (импульсы, «ступеньки» и др.), поскольку число гармоник в е╦ спектре велико,
Простые волны. Роль нелинейности «в чистом виде» хорошо видна в предельном случае, когда и дисперсия, и диссипация полностью отсутствуют, т. е. все гармонич . моды бег ут с одинаковыми с ко ростями. Е ели в ур-нии В, (2)^считать скорость У зависящей от волновой переменной 1|>, то его решение сводится к функциональному соотношению вида ty=F\\x~i'(^)fj, описывающему простую В. или волну Римана. Профиль е╦ непрерывно деформируется (рис. 14) так, что каждая
Рис. 14. Эволюция простой волны (а), образование «перехл╦ста» (б) и разрыва ударной волны (в).
=ф]. Образование крутого фронта В. означает до-гон и группировку электронов, а «перехл╦ст» ≈ обгон и разгруппировку. В электронике этот эффект наз. клистронным. Аналогичным образом может вести себя поток машин на дорогах («транспортные волны») и нек-рые др. «кинематические» волновые процессы. Динамич, поведение волновых систем описывается, по крайней мере, двумя ур-ниями 1-го порядка, в простейшем варианте ≈ парой нелинейных телеграфных ур-ний, имеющих вид (4), где а=а(ф, тр), Ь=Ь(у, я|>). Их частными решениями являются две простые В. вида
(26)
где v=y*ab, dF^/dF^ ± Y~a/b, Так ведут себя, напр., давление и скорость в газодинамике, напряжение и ток в нелинейных эл.-магн. линиях и т. д. Здесь появление «перехл╦ста», т. е. неоднозначности решения, уже не имеет физ, смысла. Некорректность устраняется обычно уч╦том дополнит, физ. факторов (дисперсии, потерь), вступающих в силу в областях резкого изменения поля и приводящих к повышению порядка исходных ур-ний. Ударные волны. Приближ╦нные ур-ния, описывающие эволюцию В. в системах с малыми нелинейностью, дисперсией, диссипацией, получаются посредством добавления в «первичное» ур-ние (2) малых членов, учитывающих эти факторы. Весьма широкий класс таких В. описывается т. н. ур-нием Бюргерса ≈ Кортевега ≈ де Фриса:
fi'lli _ rt^ili
1 mm Т Д *-f T-l1 ff\\^\\ OJC if Tf≥ *
где е, v и р ≈ константы, отражающие влияние соответственно нелинейности, диссипации и дисперсии (в теории нелинейных В. оба последних фактора иногда относят к дисперсионным, т. к. степень их влияния на процесс зависит от его пространственных и временных масштабов). При медленных изменениях поля членами с v и р можно пренебречь, и возмущение ведет себя как простая В, с у(ф)=р0+еф. Но на участках с увеличением крутизны профиля эти «дисперсионные» члены постепенно «вмешиваются» в движение, предотвращая возможность «перехл╦ста». Дальнейший процесс зависит от соотношения двух последних слагаемых в ур-нии (27); при этом особую роль играют стационарные В. Хотя они и не реализуются в точности, но во мн, случаях в В. формируются образования, близкие к стационарным. Если р=0, то (27) наз. ур-нием Бюргер с а. Его стационарное решение имеет вид:
1 ∙∙ ∙ " ' ' - [*$$.{х_У1}]ч ад
324
а
точка с фиксир. значением of движется с пост, скоростью г('ф). На спектральном языке это и означает непрерывный рост амплитуд гармоник, синхронно взаимодействующих между собой. Эволюция профиля В. сопровождается растяжением одних его участков и сокращением других, прич╦м крутизна последних раст╦т вплоть до полного «перехл╦ста» за сч╦т обгона одних точек профиля другими. Иногда такая неоднозначность имеет реальный смысл. Напр., если пучок электронов пролетает через промежуток между двумя сетками, к к-рым приложено перем. напряжение, то в зависимости от фазы прол╦та электроны приобретают разные скорости, и ур-ние (2) описывает В. скорости электронов [так что
где к = Р0-г-е(^1-г-'фя;/2) атр^Ч^%> % и % ≈ постоянные. Это решение описывает структуру стационарной ударной волны малой амплитуды. Она имеет вид монотонного перепада между двумя пост, значениями ij^ Hijj2 (рис. 15). Характерная длина перепада б~2у/еДгр тем меньше, чем больше его величина Alp и чем
меньше коэф. потерь v. ,, ,- └ ,
-17└ г) /оо\\ РЯС. ID. Профиль стационар-Ударная В. (28) и есть ис- Ной ударной ьолны.
тинное квазистационарное
решение, «вписываемое» в простую В. малой амплитуды в области «перехл╦ста». Если, напр., в нач. момент задана синусоидальная В. с достаточно большими длиной и амплитудой, то она будет превращаться в почти пилообразную с узким ударным фронтом, а затем, но мере затухания, снова возвращаться к синусоидальной форме. На спектральном языке это означает, что высшие гармоники сначала растут, а Затем затухают, и тем быстрее, чем выше их пространственные частоты; для слабых и коротких В. нелинейные эффекты вообще не успевают проявиться из-за сильного затухания.
")
}
