|
|
ставлено в виде суперпозиции таких сферич. В., выходящих из разных точек, т. е, выражаться интегралом
R
dV,
(216)
где dV ≈ элемент объ╦ма, R ≈ расстояние между точкой источника и точкой наблюдения. Ур-ние (5) имеет I ещ╦ и другое решение, сходящееся к источнику и получаемое из (21а) заменой v на ≈-v. Оно приближ╦нно I реализуется, напр., для акустич. или эл.-магн. В., ! создаваемых сферич. концентраторами или отражато-] лями, фокусирующими излучение в центре (г«0). В случае точечного источника в свободном пространстве оно отбрасывается из физ. соображений: считается, что источник является единств, поставщиком энергии и, следовательно, поток энергии должен быть направлен I от него. Процесс уноса энергии от источника волнами 3 наз. излучением, а соответствующие условия, выделяющие решение (216) с «запаздывающими» аргументами (R ≈ vt) и отметающие решения с «опережающими» аргументами (R-\\-vt), наз. условиями излучения. На больших расстояниях от источника (в дальней, волновой зоне) решение (216) превращается в сферич. неоднородную (несимметричную) В.:
ф ~∙ D (6, ф)-/7 (т≈vt)/rt (21в)
где 9, ф ≈ углы сферич. системы координат, a Z>(0, 9) ≈ диаграмма направленности источника излучения (см. Антенна).
Набор сферич. В., как и плоских, является полным,≈ через них можно представить произвольное волновое поле. В частности справедлив Гюйгенса ≈ Френеля принцип, согласно к-рому ноле в любой точке, находящейся вне произвольной поверхности $, окружающей источник, можно представить как результат интерференции вторичных сферич. В., излучаемых каждой точкой (элементом) этой поверхности,
В линейных средах с дисперсией выражения (21) справедливы только для гармонич. В.; сигналы др. формы испытывают искажения, т. к. каждая гармонич. составляющая распространяется со своей фазовой скоростью, зависящей от е╦ частоты.
Другой важный тип симметрии. В.≈ цилиндрическая волна, расходящаяся, напр,, от точечного источника ва плоскости (поверхность воды, мембрана, плоский волновод) или источников, равномерно распредел╦нных вдоль оси в однородном тр╦хмерном пространстве. Структура цилиндрич. В» сложнее, чем сферической,≈ даже в среде без дисперсий е╦ форма не повторяет временного поведения ф-ции источника, как в случае (21а),≈ В. тянет за собой длинный «шлейф» и только на больших (по сравнению с X) расстояниях этим «шлейфом» можно пренебречь, представив В, в виде, сходном с (21а):
я|> к D (6) F (r ≈ vt)/y~f. (22)
Волновые пучки и лучи. Из набора плоских гармонич, В, в линейных средах можно сформировать любое распределение волнового поля. Суперпозиция плоских В. с и, близкими по направлениям, может дать локализованное в поперечном направлении поле ≈ волновой пучок или луч с почти плоским волновым фронтом, прич╦м поперечные размеры пучка d значительно превышают длину В., но малы по сравнению с его длиной. Величина d ограничена снизу пространственным соотношением неопредел╦нности, связывающим пространственный масштаб любой ф-ции с шириной ее пространственного спектра:
ней, прожекторной зоне). Для коротких В. это могут быть совсем немалые расстояния. Так, идеальный оптич. прожектор (при Я^5-10~5 см, d≈100 см) в вакууме, т. е. при отсутствии атм. рассеяния, способен создать однородный пучок вплоть до удаления в 2000 км.
a (kd)
(23)
где ДА: ≈ поперечный разброс волновых векторов, характеризуемый углом а (рис. 11). При а<1 (т. н. малоугловое приближение) Ы>1. Такие пучки можно считать не расходящимися на расстояниях R <<?/Х (в ближ-
Физическая энциклопедия, т. 1
Рнс. 11. Волновой пучок.
При R~d^!K (зона дифракции Френеля) начинает сказываться неоднородность амплитудной структуры поля в поперечном сечении пучка, из-за чего пучок плавно расширяется, и на ещ╦ больших расстояниях» где /?>d2/A. (дальняя зона, или зона Фраунгофера), он превращается в В. с локально сферич. фронтом,
Понятие луча лежит в основе геометрической оптики ≈ приближения, справедливого для волнового поля, амплитуда и волновой вектор к-рого изменяются плавно, на масштабах, существенно превышающих длину В. В этом случае поле может быть представлено как набор независимых лучей. В однородной среде лучи прямолинейны, в неоднородной ≈ искривлены в соответствии с законами преломления (рефракции). С помощью лучей можно построить изображение любого предмета, размеры к-рого велики по сравнению с Я. На этом основаны принципы работы мн. оцтич. приборов (линза, телескоп, микроскоп, глаз и т. д.), а также нек-рых типов радиотелескопов. В аналогичных ситуациях для акустич. волн говорят О геометрической акустике.
Ход лучей может быть описан также с помощью нек-рых вариац. методов (см. Наименьшего действия принцип), В этом обнаруживается аналогия между поведением полей и частиц, стимулировавшая в сво╦ время развитие квантовой (волновой) механики. Лучи в неоднородных средах ведут себя как траектории частиц в соответствующих силовых полях; отсюда проистекает, в частности, сходство принципов действия оптических и электронных микроскопов, а также, в более широком смысле, сходство обычной оптики с электронной или «оптикой» любых др. частиц.
В рамках чисто лучевого описания интенсивность поля в точках пересечения лучей (фокусы) или их касания (каустики) обращается в бесконечность. На самом деле, в этих областях приближение геом. оптики неприменимо, и для уточнения волновой картины необходимо обращаться к исходным ур-ниям В., описывающим все детали волновой структуры. Часто, однако, достаточно ограничиться промежуточным приближением, считая, что поле представляет собой почти плоскую В. с медленным (в масштабе пространственных периодов) изменением комплексной амплитуды А ≈А (г). В результате, напр., волновое ур-ние (5) (при /=0) сводится к ур-нию параболич. типа (Леонтовича ур-ние)
дх = 2/ш ( By* "~i дГ*~ ) ' ╧ '
\ /
сходному с Шр╦дингера уравнением,
Теория волновых пучков, развитая методом параболич. ур-ния [иногда наз. также методом поперечной диффузии амплитуд, поскольку ур-ние (24) описывает диффузионное расплывание амплитуды в поперечном сечении пучка], составляет один из важнейших и, до нек-рой степени, самостоят, разделов волновой теории (см. Квазиоптика).
2
х
О
")
}
