1tom - 0240.htm
∙^^и
о
1зшвается «прижатым» к границе, т. е. экспоненциально спадающим при удалении от не╦ во вторую среду и не уносящим никакого потока энергии. Это означает, что В. полностью отражается и что между двумя такими границами можно запереть В. он ре дел» типа, образовав волноводную систему. На этом основано, в частности, направляющее действие диэлектрич. стержней и пластин с резкими границами (волноводов диэлектрических) и световодов, а в акустике ≈ подводных звуковых каналов, где «захват» поля осуществляется благодаря рефракции лучей на неоднородностях среды в поперечном направлении.
С полным внутр. отражением связано и существование боковой В., возникающей при падении расходящейся (сферич. или цилиндрич.) В. под малыми углами на плоскую границу раздела. Если источник О находится в среде с иф1Оф2»т° наряду с обычным отражением по лучу ОАР (рис. 7, а] В. доходит до точки наблюдения Р по пути OSDP, часть к-рого SD она идет вдоль границы со скоростью, большей уф±. Этому пути и отвечает боковая (или головная) В., приходящаяся с наибольшей результирующей скоростью.
Модулированные волны. Групповая скорость. Бесконечная гармонич. В. является идеализацией ≈ все реальные волновые процессы ограничены во времени, а значит, имеют конечную ширину спектра; в этом случае выполняется «временное» соотношение неопредел╦нности:
Аш-Аг^я, (17)
где Л/ ≈ характерная длительность процесса, Д<о ≈ ширина его спектра (для квантовых систем это соответствует неопредел╦нности соотношению для энергии Д<? ≈ &До> и времени). Иллюстрацией (17) могут служить модулированные В, (см. Модуляция колебаний}^ поля к-рых совершают квазигармонич. колебания, т. с. их амплитуды и частоты претерпевают лишь плавные (в масштабах Т = 2л/со и К = 2л/Л) изменения. Именно такие В. обычно используются в радио- и теле-виз. связи, радио- и акустич. локации. Простейший пример ≈ биения двух бегущих в одном направлении гармонич. В. со слегка разл. частотами ^ = (00 -{- Aw, ю2 = w0 ≈ Доз и волновыми числами Лга = А-д+ДЛГ) Аа = k0 ≈ Дй. Их суперпозиция сводится к «произведению двух гармонич. В.»:
i|>(.r, t) = A со&(Д/с# ≈ AurfJ-sin (<o0£ ≈ k0x), (18)
каждая из к-рых распространяется со своей скоростью.
Если Ao)/to0 и Д/Ло малы, то движение (18) можно ин-
терпретировать как ампли-тудно- модулированную В . (рис. 8): е╦ несущее коле-бание (с частотой со0) перемещается с фазовой скоростью Уф≈ to/ft, амплитудная
огибающая (с частотой Рис.в.Бигармоничесная волна. Дш) _ с груш10вой скоро.
света с в вакууме. Так, дисперс. ур-нию (10) соответствует значение игр~с2/уф<с, поскольку, согласно (11), иф>г (см. рис. 4). Только в средах без дисперсии уф и i>rp одинаковы, в общем же случае они могут иметь не только разл. значения, но и разные знаки; В., у к-рых
Рис. 9. Волновой пакет и его спектр.
фазовые и групповые скорости противоположно направлены, паз, обратными.
В линейной диспергирующей среде волновые пакеты сохраняют свою форму только при прохождении ограниченных дистанций; на больших расстояниях они расплываются, после чего понятие групповой скорости для пакета как целого утрачивает смысл. При этом пакет становится частотно-модулированным: он может превратиться в непрерывную последовательность цугов разных частот, для каждого из к-рых можно ввести свою групповую скорость, прич╦м впер╦д уходят цуги с боль-
Рис. 10. Расплывание
волнового импульса
из-за дисперсии.
шей групповой скоростью. Такое расплывание особенно сильно выражено для коротких «видеоимпульсов», имеющих широкий спектр частот (рис. 10).
Если же модулир. В, имеет узкий частотный спектр» то е╦ поле описывается выражением (7), где комплексная амплитуда А медленно (в масштабе осцилляции поля) изменяется во времени и пространстве. В одно мерном случае, когда А=А(х, £)» приближ╦нно справедливо комплексное ур-ние параболич. типа:
дА , и дЛ_ __ i_ d*& дгА
' ~~ 2 dh* дх* '
стью yrt>=
Из набора В. со сплошным спектром, лежащим в узких пределах <о0≈ Дсо^о^Уо+Дш, !Д<й|<а>0, можно получить волновой пакет (рис. 9). Этот ограниченный во времени импульсный сигнал перемещается как единое целое с групповой скоростью
Дю \ d(i> I
V
гр
lim
Afc
dk
(19)
Величина игр определяется из дисперс. ур-ния (8): она равна тангенсу угла наклона кривой о> (k) к оси абсцисс.
Во мн. физ. задачах волновые пакеты ведут себя как самостоят, динамич, объекты (квазичастицы), переносящие энергию к импульс со скоростью игр. И вообще, в соответствии с осп, принципами теории относительности групповая скорость любых В., способных пере-320 носить информацию, не может превышать скорости
На небольших расстояниях [. где Л ≈ характерный масштаб модуляций] можно пренебречь правой частью этого ур-ния, тогда получается А ≈ Л (х≈i^pf), т. е. огибающая В. распространяется без изменений формы со скоростью ггр; при ar>Z-rp необходимо учитывать правую часть (20), к-рая «ответственна* за дисперс. расплывание В,
Сферические и цилиндрические волны. Хотя из плоских В. можно получить любые волновые поля, такое представление не всегда адекватно физически наблюдаемым явлениям. Напр., В., возбуждаемая точечным источником в изотропной среде без дисперсии, представляет собой сферически расходящееся возмущение вида
F (r-vt) ' /0, ч t|> ~ ≈1≈≈- , (21а)
где г ≈ расстояние от центра (источника). Это одно из точных решений волнового ур-ния (5); его разложение по плоским В. допустимо, но приводит к усложнению анализа движения. В. вида (21а) наз. сферической однородной. В случае произвольного источника в (5) результирующее поле может быть пред-
")
}
