или в случае распространения В. в произвольном
Направлении "
ij> (г, О = 4 sin (tu( ≈ AT ≈ Фо). (66)
Здесь Л ≈ амплитуда, Ф ≈ полная фаза В., 0) ≈ утл. частота, k ~ волновой вектор; его модуль \k\\^k наз. волновым числом; ср₀ ≈ пост, сдвиг фазы (часто именуемый просто фазой), Ф-ция ^(г, t) периодична как во времени (с периодом Т=2л./ы), так и в пространстве (с периодом Х=2л/А:, наз. длиной В.) (рис. 1), Поверхности постоянных Ф ≈ волновые фронты представляют собой плоскости, перпендикулярные вектору k и перемещающиеся вдоль k с фазовой скоростью Уф = (о/Л. В любом другом направлении, отклон╦нном от k на угол а, скорость перемещения фазовых фронтов равна v$/cQsa>v$', это означает, что, в отличие от fc, ^ф не является вектором (иначе скорость вдоль направления а равнялась бы i^cosct, т. е, проекции соответствующего вектора) .
Помимо (6) применяется также комплексная запись В.:
т|? = Ае^ш " ^╧г = A exp i (<а* ≈ Ат) , (1)
где А ≈ комплексная амплитуда. Выражение (7) объединяет два волновых движения, описываемых реальной и мнимой частями. Запись (7) удобна тем, что операция дифференцирования сводится для не╦ к простому умножению: d/dt заменяется на Ы, а д/дг на ≈ ik. Это позволяет перейти от исходного дифференц. (или даже более общего ≈ интегродифференц.) ур-ния В. к алгебраическому:
со = со (&), (8)
ная распространения). Так, для волновода прямоугольного сечения и = л }^т²/а²-|-и,²/Ь²_г а и Ъ ≈ стороны сочония, т и п ≈ произвольные целые числа. Каждой паре чисел тип отвечает своя мода (рис. 3). Фазовые скорости таких В. (рис. 4} превышают скорость света в заполняющей волновод среде. Если эта среда вакуум, то
>с. (11)
^к V l-x'c'/co¹
Эти волны наз. быстрыми, в отличие от медленных, для к-рых гф<с; медленные эл.-магн. В. могут распространяться, напр., в диэлектриках и разного рода пе-риодич. структурах (замедляющих системах). В случае х=0 (т. н. главная мода) В. не обладает дисперсией (см. ниже).
Иной дисперсией обладают В. на поверхности жидкости. В водо╦ме пост, глубины Н такие В. без уч╦та поверхностного натяжения описываются дисдерс. ур-ние м
to = gk th ЛЯ, (12а)
где g ≈ ускорение свободного падения. Отсюда для коротких В. (&Я~2л/ГД > 1) следует:
со = У"&. ___ (126)
Фазовая скорость этих В. v$ =»= to/A = УgK/2tt раст╦т с *их длиной Я. Для длинных В. (ЛгЯ< 1) справедливо др. приближенно:
о & vk
к-рое наз. законом дисперсии или д и с п е р-сионным у р-н нем. Фактически оно полностью характеризует волновые свойства любой линейной однородной среды (системы), поскольку любое малое возмущение в ней можно представить в виде разложения Фурье по плоским гармонич. В, Дисперс. ур-ние может быть положено в основу классификации волновых процессов в линейных средах.
В общем случае ур-ние (8) имеет неск. независимых решении (ветвей), каждое из к-рых соответствует нормальной волне (моде). Если для заданного направления величина со пропорциональна fe, то фазовая скорость уф~ о)//с не зависит от со и k, т. е. дисперсия отсутствует. В частности, волновое ур-ние (5) при /≈0 или его одномерный вариант(З) при подстановке в него (1) да╦т дис-перс. ур-ние
(u)^a/u^a) ≈ fc^s = 0 или о> = ± kv, (9)
Для систем с дисперсией тоже можно выделить более или менее общие типы ур-ний В. Так_т при описании эл.-магн. В. в плазме, а также нек-рых видов мезонных полей используют Клейна ≈ Гордона уравнением
где v =
Дисперс. ур-ния можно использовать для «конструирования» упрощ╦нных динамич. ур-ний движения, приближ╦нно совпадающих с исходными в той или иной области параметров, В частности, отправляясь от (12в), получают приближ╦нное ур-ние для вертик. смещений поверхности жидкости г[з:
-О, (13)
к-рое наз. линейным Кортевега≈де Фриса уравнением,'* оно отличается от простейшего ур-ния В. (2) последним
KjlT
где с и и ≈ постоянные. Ему соответствует диспсрс. ур-ние вида
и= ± pV/cS+c³*³ (10)
(в случае эл.-магн. В. в плазме величина сх ≈ <А_р имеет смысл плазменной частоты, а с ≈ скорости света в вакууме). Из ф-лы (10) видно, что в таких системах могут распространяться лишь В. с частотой выше нек-рого значения ш_кр ≈ хс. Значениям to < w_Kp отвечают мнимые k\\ амплитуда такой В. экспоненциально убывает вдоль оси х, а энергия в ней не переносится. Однако через слой конечной протяж╦нности энергия В. может «просачиваться» благодаря появлению возмущений, отраж╦нных от задней границы слоя (подобно туннельному эффекту в квантовых системах). Такой дисперсией обладают также В. в эл.-магн. волноводах в виде трубы
Рис. 3. Дисперсионный зависимости ы (k) для первых тр╦х: мод прямоугольного волновода.
Рис, 4. Зависимости фазовой UA и групповой и_г_ скоростей от частоты для тезе же мод, что и на рис. 3.