1tom - 0236.htm
3
.о
X
о
Q
Итак, понятие В. охватывает чрезвычайно разнообразные движения в системах любой природы. В известном смысле это понятие первичное. Даже общепринятое разделение объектов на «В.» и «частицы» не имеет абс. характера. Так, в квантовой физике микрообъекты «объединяют» в себе свойства частиц и В., что означает возможность двоякого описания их поведения (см. Корпускулярко-волновай дуализм). Такого рода «дуа-лизм» встречается и в макроскопич. масштабах: уедин╦нные волновые возмущения (см. Уедин╦нная волна), локализованные в огранич. области пространства, проявляют свойства дискретных объектов (частиц или квазичастиц); в частности, они способны сохранять неизменной свою структуру при столкновениях (взаимодействиях) друг с другом.
Волновые уравнения. Из всего сложного и разветвл╦нного семейства волновых движений можно выделить более it ли менее элементарные, но универсальные типы В., что позволяет рассматривать их поведение с общих позиций, независимо от их физ. природы. Эта общность проявляется прежде всего в том, что волновые движения разл. физ. объектов (полей) описываются однотипными ур-ниями или соотношениями. Для систем с непрерывно распредел╦нными параметрами это обычно дкфференц. ур-ния в частных производных, связывающие изменения ф-ций, характеризующих волновое поле, по времени и координатам. Эти ф-ций могут быть как
описывается ур-ниями 2-го порядка и выше, допускаю-щими одноврем. существование В. вида (1) с двумя сля более разл. скоростями. Одно из самых типичных ≈ это волновое ур-ние для ф-ции х|э:
$xt ≈ ~ ,ifi ==" г)
или два эквивалентных ему ур-ния 1-го порядка, связывающие две ф-ции ф и тр:
дх
dt '
дх
__ _
Ь dt
Ряс. I. Распределение в пространстве волновой переменной в бегущей синусоидальной волне в моменты лремени t и
скалярными (напр., давление в газе, скалярный потенциал электрич, поля), так и векторными (скорость частиц, векторные потенциалы, напряж╦нности эл.-магн. поля и т. п.). Простейший пример ≈ плоские одномерные В., поля к-рых зависят только от времени t и от одной из пространственных координат х. Среди
них особо выделяются стационарные бегущие В., профиль к-рых перемещается без искажений с пост, скоростью (рис. 1) и к-рые могут быть описаны одной волновой переменной:
где F ≈ иск-рая ф-ция ар-Рис. 2. траектории фиксиро- гумента \=x-vt. Значения ванных точек в профиле вол- Ч> сохраняются на прямых ны на плоскости xt (карайте- t,=x≈itf=const (рис. 2)> ког-ристики). да ПрИращение координаты
Дя пропорционально приращению времени Д2, что и означает движение с пост, скоростью Дд;/Д(≈ v. Условие постоянства^ при £=const можно записать в дифференц. форме:
^"Ф Е ≈ ≥,г,0) ~-^Г
const
при dz/dt = v получается простейшее ур-ние В.
(2)
играющее фундам. роль в теории волновых процессов. Ф-ции (1) являются общими решениями ур-ния (2). Они описывают процесс однонаправленного распространения В., напр, в потоке невзаимодействующих частиц (где v ≈ скорость потока, ty ≈ отклонение скорости 316 частиц от v). Однако большинство волновых систем
где а и Ь ≈ постоянные, ab~У2>0. Соотношения (4) первоначально были записаны для эл.-магн. линий передачи и наз, телеграфными уравнениями, однако область их применимости гораздо шире. Они описывают такую «перекачку» ф и i|? друг в друга, при к-рой изменения во времени одной величины (напр., ф) вызывают изменение в пространстве др. величины (т|з),и наоборот. Этот механизм обусловливает процесс волно-образования в разл. физ. ситуациях. В случае звуковых В. в газах и жидкостях ф-ции ф и 1|? соответствуют воз. мущсниям давления и скорости, в случае эл.-магн, В,-напряж╦нностей электрич, и магн, полей и т. д. Поскольку оба направления ±я равноправны, то ур-нкя (3) и (4) допускают существование двух произвольвого вида В. типа (1), бегущих навстречу друг другу со скоростями v и ≈У; их наз. нормальными волнами или модами. Общее решение ур-ний (3) и (4) представляет собой их сумму (суперпозицию),
Волновое ур-ние (3) может быть обобщено на случай тр╦хмерных возмущений, когда поле л|> зависит от всех трех пространственных координат х, у, z. Для этого в ур-нии (3} оператор 62/дх* следует заменить на оператор Лапласа:
л а' , ag
дх* ~1~ ду*
дг*
При наличии внеш, источника в правую часть вводится определяющая его ф-ция /(г, t):
= /(г, О
(5)
(где г ≈ радиус-вектор точки пространства). Это неоднородное волновое Ур-ние описывает весьма обширный класс волновых движений в линейных, однородных, изотропных системах без дисперсии.
Под дисперсией обычно понимают зависимость скорости распространения В. от е╦ характерного периода во времени и пространстве (для синусоидальной В.≈ от е╦ частоты со или длины X) и связанные с этим искажения профиля В. Дисперсия обусловлена немгновев-ностью (временная дисперсия) и не локальностью (пространственная дисперсия) связей разл. величин в волновых системах, что часто (но не всегда) приводит и повышению порядка ур-ний, их описывающих, по сравнению с (2} или (3) (см. Дисперсия волн. Диспергирующая среда). Строго говоря, к не диспергирующим можно отнести лишь эл.-магн. В. в вакууме (в их классич. описании) и гравитационные В.
Бегущая гармони ч. волна ≈ частный случай стационарных бегущих В., представляет собой распространяющиеся синусоидальные колебания. Во мн. отношениях ≈ это простейшее волновое движение; его выделенность связана с особыми свойствами гармо-нич. осцилляторов и ротаторов, обусловленными наличием определ. видов симметрии однородного, изотропного пространства. Если в линейной среде без дисперсии оста╦тся стационарной плоская В. любой формы, то в линейной диспергирующей среде таковой является плоская гармонич. (монохроматич.) В. вида
я, t) ≈ A sin Ф= A sin ((at ≈ kx ≈ ф0)
^
")
}
